北京去哪里医院看白癜风最好 https://m.39.net/disease/a_13809259.html原题
原题：如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，O为BC的中点，A1O⊥平面ABC，点M在AO上，AM=2MO，N为OC1与B1C的交点，且BB1与平面ABC所成的角为π/4.
⑴求证：MN∥平面ACC1A1；
⑵求二面角A1-OC1-B的正弦值。
图一
这是一道立体几何的题，虽然立体几何的题可以用向量的方法来求解，但是常规的方法还是要会的，毕竟立体几何主要就是考察学生的空间想象能力。
这道题的第一问是比较简单的，大多数同学应该都是可以解决的，主要是第二问。
第二问是求两个面所成角的正弦值，这个时候需要先找到这个角或者作出这个角，这里就会有很多同学找错角，甚至过后都不会发现。
主要原因就是很多同学会错把面A1OC1当成是面AOC1A1来找面A1OC1与面BB1C1O所成的角，还会有部分同学将二面角A1-OC1-B当成是面A1OC1和面COC1所成的角，这都是不正确。
下面就讲解题的过程中来详细的说明这样做错误的原因，明白哪些才不会犯错误。
第一问
第一问是求证MN∥平面ACC1A1——就是证明MN平行斜三棱柱的侧面ACC1A1。
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以侧面BB1C1C是平行四边形，所以B1C1∥BC，所有∠NOC=∠NC1B1，∠NCO=∠NB1C1，所以△ONC∽△C1NB1，所以OC/B1C1=ON/NC1；
因为O是BC的中点，所以ON=NC1/2，所以ON/NC1=1/2。
因为AM=2MO，所以MO/AM=1/2.
所以ON/NC1=MO/AM，连接AC1，所以MN∥AC1.
图二
因为AC1∈面ACC1A1，MN不属于面ACC1A1，所以MN∥面ACC1A1。
第二问
第二问是求二面角A1-OC1-B的正弦值，这里需要注意的是该二面角是面A1OC1与面BB1C1O所成的角，不是面AOA1和面BB1C1O所成的角，也不是面A1OC1和面COC1所成的角。
因为面AOA1与面A1OC1不是一个面，这里会有很多同学以为它们是一个面。
因为直线A1C1与直线AC时平行的，而AO是和BC是相交的，又因为A1C1在平面ABC外，且又平行该平面ABC内的直线AC，所以直线A1C1是不可能与面ABC内的任何直线有交点的，所以直线AO和直线A1C1是异面直线，不可能共面。
这里还要注意的是面A1OC1与面BB1C1O所成的角也不是面A1OC1和面COC1所成的角。
虽然面COC1和面BB1C1O是同一个面，但是面A1OC1与面COC1所成的角和面A1OC1与面BB1C1O所成的角是不同的，它们是互补的关系。
二面角的范围是0到度的，要想借助面COC1与面BB1C1O所成的角求二面角A1-OC1-B时，是需要将这个角进行转化的。
知道上述的内容后，我们来找二面角A1-OC1-B。
第一步，将面A1OC1扩展。
过O点做A1C1的平行线OE，连接A1E，则面A1EOC1就是面A1OC1的扩展面。
图三
第二步，过点B找到面A1EOC1的垂线。
因为A1O四边形A1EOC1的对角线，且A1O⊥面ABC，所以A1O⊥面ABC上的任意一条直线，所以过点B做OE的垂线BF交于OE与G，与AC于F，则BG⊥面A1EOC1.
因为底面ABC是等边三角形，且O为BC的中点，且AM=2MO，所以M点是三角形ABC的重心，也是垂心，又因为OE与AC平行，所以BF必过点M，且F为AC中点。
因为斜三棱柱的上下底面是平行的，所以过点B1做A1C1的垂线于F1，则B1F1∥BF，所以B1F1也是面A1EOC1的垂线。
图四
过点F1作OC1的垂线交于OC1于H，连接B1H，则∠B1HF1就是二面角A1-OC1-B所成的角。
第三步，计算出二面角A1-OC1-B的正弦值。
因为三角形A1B1C1时等边三角形，且边长为2，所以B1F1=√3.
因为A1O⊥面ABC，所以A1O⊥OE；
因为A1C1∥OE，所以A1O⊥A1C1，所以∠OA1C1=90度。
因为F1H⊥OC1，所以∠F1HC1=90度，所以∠OA1C1=∠F1HC1。
又因为∠A1C1O=∠A1C1O，所以△A1C1O∽△HC1F1，所以有F1C1/C1O=F1H/A1O——相似三角形边成比例。
因为F1是A1C1的中点，所以F1C1=1。
因为A1O是底面ABC的垂线，所以∠A1AO就是直线AA与面ABC所成的角，又因为AA1∥BB1，∠A1AO也是BB1与平面ABC所成的角，因为BB1与平面ABC所成的角为π/4，所以∠A1AO=45度。
在直角三角形A1OA中，则有AO=A1O=√3。
在直角三角形OA1C1中，根据股沟定理有OC1=√[(√3)^2+2^2]=√7。
所以F1H=F1C1·A1O/C1O=1×√3/√7=√3/√7.
在直角三角形B1HF1中，根据勾股定理则有B1H=√[(√3)^2+(√3/√7)^2]=2√6/√7。
所以sin∠B1HF1=B1F1/B1H=√3/2√6/√7=√14/4.
综上所述，二面角A1-OC1-B的正弦值为√14/4.
总结
该题主要容易出现错误的地方就是面A1OC1的拓展，在拓展面的时候要注意：过原来面上的点，找原来面内的平行线，这样得出的面就是原来面的拓展面。
第二要注意：同一个面与其他面所成的角不一定是同一个角，它们可能是补交的关系。
因为二面角是0到度的，两个面无限延伸的情况下所成的角是两种——四个角，两两相等，所以要注意问的是两个面所成的哪个角。
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