天津最好的白癜风医院 http://www.kstejiao.com/m/万能求积公式又叫做辛普森求积公式，具体的推导过程不需要高中阶段学生掌握，之所以叫万能公式是因为公式可以表示为许多几何体体积的形式，在高中阶段掌握这一公式，在某些求体积问题小题中可以很快的计算出答案，公式如下：解释：h为几何体的高，S下为下底面的面积，S上是上底面的面积，如果上下底面中某一个是点，则面积为零，S中是中截面的面积，那么如果是在三棱锥中我既然知道了高和下底面的面积，那么求体积的时候还需要用这个公式吗？这里解析一下，这个公式的作用不是求某一类特定几何体的体积，而是多种几何体体积的统一表达形式，至于求体积时选择的公式方法根据题目条件而定，注意，即便是在三棱锥中这里的h并不一定就是传统意义上上顶点到底面的距离，且在选择中截面的时候还需要注意题目中有没有两条互相垂直的对棱，如果有，则此时的h则表示为这两条互相垂直且异面对棱之间的距离，中截面就可以以这两条对棱作为依据求面积，具体展示过程如下：上题目如果用传统方法需要对几何体进行分割求体积，但是如果用万能求积公式只需要求出中截面和高即可，注意题目中EF//平面ABCD且距离为2，所以题目中出现了两条互相垂直的棱EF和BC，且他们之间的距离即为几何体的高，因此中截面必定为矩形，用万能公式求体积如下：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~传统方法：找到三棱锥的高即可，因为△ABC为等腰直角三角形，且DB=DA=DC=a，所以点D在经过RT△ABC斜边中点且与斜边垂直的直线上，所以三棱锥的高就是DE的长度用传统方法已经是很简便了，这里用万能求积公式仅仅是为了展示公式的用法，如果把ABC作为底面，取DA，DB，DC的中点连接成的面作为中截面，则过程如下：此时高依旧为DE，底面面积为a/2，因为中截面与底面相似，边长比为1:2，所以面积比为1:4，所以中截面面积为a/8,用万能公式如下：注意到题目中存在两条互相垂直且长度已知的棱，所以如果利用万能求积公式，最好的做法应该如下：因为DB与AC互相垂直且长度已知，所以据此作出中截面MN，此时中截面MN为矩形，面积易求，三棱锥D-ABC可表示为立方体DB-AC,此时AC和DB的公垂线段为EF，故EF即为立方体DB-AC的高，这样做的好处是上底面面积和下底面面积均为0，过程如下：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~这个题目在《高中数学复习笔记》中高和体积的求法专题中讲过传统的做法，即利用等价转化底面和转换顶点法可以做出，有兴趣同学可以参考笔记第页。如果取AB的中点G，则FG//A1D1，所以FG//平面A1D1E,因此点F到平面平面A1D1E的距离和点G到平面A1D1E的距离相等，之所以转化是因为找出两条互相垂直的对棱出来，如下图：因为A1D1⊥EG，所以题目转化为求几何体A1D1-EG的体积，此时的中截面肯定为矩形，且矩形的边长分别为A1D1的一半和EG的一半，取EG的中点l,因为A1l是A1D1和EG的公垂线段，所以A1l即为几何体A1D1-EG的高。所以在三棱锥中能找到两条互相垂直的对棱，此时三棱锥的体积就只与对棱之间的距离有关，因此使用此方法的前提是掌握求异面直线之间的距离。总结：万能求积公式适用于大多数几何体体积的求法，但是题目中并不一定要使用它，当在不规则几何体中要用割补法求体积的时候或者三棱锥中高或者底面积不好求(其实就是直接转化顶点法无效)的时候，可以试着使用这种方法，关键是从题目条件中找到或通过等价转化找到两条互相垂直的对棱，此时的体积只与对棱之间的距离有关。
