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立体几何主要研究线、面平行与垂直两种特殊关系,其中,点面距离是垂直关系中比较常见的一类问题.虽然说建立空间直角坐标系后,点面距离可以用公式求出,但借助于位置关系和体积公式转化,依然是主流方向,尤其是三棱锥体积转化,为求点面距离提供了思路.要想利用三棱锥进行体积转换,首先得选择合适的三棱锥,其次三棱锥的体积和底面面积是可求的.
策略一:利用面面垂直寻求平面的垂线
根据面面垂直的性质,在一个面内垂直于两平面交线的直线,垂直于另一个平面.如果能确定两平面垂直,点面距离就非常容易确定.
策略二:利用线面平行转移目标点
如果直线平行于平面,则直线上所有点到平面的距离都是一样的.因此,选择直线上便于作平面垂线的点,为求点面距离创造了条件.
策略三:利用三棱锥进行体积转换
由于三棱锥任何面都可以作为底面,任何顶点都可以作顶点,因此,转换底面是求点面距离的最常用方法,其实质就是方程思想.
策略四:利用点面比例关系进行转换
同样是三棱锥问题,如果面对的三棱锥体积不易求,底面面积也不易求,这时就要考虑换点了.利用直线上两点相对于平面的位置关系,通过求其他点到平面的距离,以比例关系求目标点到平面的距离.
策略五:割补平面进行转换
基于线面位置关系和三棱锥的体积转换,我们可以求出点面距离.如果能建立空间直角坐标系,通过代数(向量)运算直接求距离,便少了很多推理过程,本文不一一而足.
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