高考数学丨MOOK
第27期胡磊
胡磊
空间几何体的线性、线面、面面距离及位置关系的证明与判断在高考中具有特殊地位，能够充分考查考生的空间想象能力，故线面、面面关系的证明与判断是高考必考内容，可能出现在客观题中，也可能出现在解答题中，并且多数以多面体为载体考查.空间距离的求解近几年有弱化趋势，但是我们复习中也要积极对待，掌握解决距离问题的几种方法.
一．空间位置关系的证明
空间的位置关系是高考必考内容，主要考查证明线线、线面、面面平行或垂直；转化思想是证明线面关系的关键，如平行问题中的转化如图所示：
1
线线位置关系的判定
C
本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，考查空间思维能力.若证明平行位置关系需要寻找线线平行，常见的模型有：（1）利用题目中的中点条件，结合中位线，得到线与线平行；（2）利用成比例线段条件，构造线与线平行的图形.（3）利用平行四边形的性质证明平行.
例2.（?上海高考文16）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（
）
A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1
考查两条直线的位置关系，利用异面直线的定义进行判定.
根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都与直线EF为异面直线；
B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行，∴直线B1C1和直线EF相交.故选D．
D
2
线面、面面位置关系的证明
NaN
1.证明直线与平面平行常用方法有两种：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.根据已知条件找不到现成的线线平行关系怎么办？添加辅助线结合判定定理证明.2.证明面面垂直可通过证明线面垂直得到.
为你支招线与线、线与面的位置关系的一般思考规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是“发展已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”，这是分析问题和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知与未知的桥梁，但必须注意的是，辅助线和辅助面要作的有理有据，不能随意去作，并且辅助线和辅助面具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断.
在证明平行与垂直关系时，一定要注意所用定理（推理）的条件，要逐个说明，使论证严谨、叙述合理.如证明线面平行要说明“平面外的一条直线”、“平面内的一条直线”、“平行”这三个条件，缺一不可.
（?北京春季高考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是（
）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、空间距离求解
例4.（?河北衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（
）
根据题意作出图形，求体积的关键是求出三棱锥的高，即点S到底面的距离，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
A
本题求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是解题的关键．
例5（理科）.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．
（1）证明：AB1⊥BC1；
（2）求点B到平面AB1C1的距离.
（1）建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，利用数量积证明垂直；（2）求出平面AB1C1的一个法向量，代入公式求点B到平面AB1C1的距离.
本题考查点到面的距离，线面关系的证明，其中建立适当的空间直角坐标系，将问题转化为向量的夹角及向量的长度计算是解答本题的关键．
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