高中数学
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,
此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合。
解决此类问题一般可从两个方面思考：
一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；
二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.
关于这部分的内容Mr.King给大家进行了总结分享。
上一期给大家分享的最值问题一距离最值问题大家复习的如何让？
今日带来的是立体几何中的最值（二）：体积与角的最值问题高二高三同学都可复习使用~
一起来看看吧~
立体几何最值问题
01
体积的最值问题
例题
点评：几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
练习1
在棱长为6ABCD--A1B1C1D1的正方体中,M是BC中点,点P是面DCC1D1所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥P-BCD的体积最大值是（)
02
角的最值
例题
如图,在四棱锥S－ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值。
练习2
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是A1B1上的一动点,平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β,试求α+β的最大值和最小值。
综合练习训练
01
在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1（不包括端点）上的动点,且线段P1P2平行于平面A1ADD1,则四面体P1P2AB1的体积的最大值是？
02
03
如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积()A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常量
04
若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A.72°B.90°C.°D.°
05
06
07
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为4的正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP·MC=0,则点M到直线AB的最短距离为()
08
09
已知各棱长均为1的四面体ABCD中,E是AD的中点,P∈直线CE,则
BP
＋
DP
的最小值为（）
10
10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=根号2,BC=AA1=1,点M为AB1的中点,点P为对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合）,则MP+PQ的最小值为（）
11
已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P—ABCD的四个侧面中面积最大的是（）
12
两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为()
13
13.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．
14
15
16
已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,角BAC=90°,侧面BCC1B1的面积为2,则直三棱柱ABC—A1B1C1外接球表面积的最小值为？
17
表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C且三角形ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为根号3,若SAB⊥面ABC,则棱锥S—ABC体积的最大值为？
18
如图,过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC,(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.
19
如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,AB＝2,BD＝根号2,沿BD将△BCD折起,使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角,设C在平面ABD上的射影为O(1)当α为何值时,三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？(2)当AD⊥BC时,求α的大小．
20
如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB＝2,EB＝根号3(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)设AC＝x,V(x)表示三棱锥B－ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值．
以上就是Mr.King带来的高中数学中立体几何中的最值（二）:体积与角的最值问题！
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