祖堩原理 [复制链接]

祖堩原理

小学的时候我们就知道圆锥的体积公式了，那会老师是用圆锥装水倒进圆柱容器里，一共倒了三次正好装满，就得出结论圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。到了初中，老师又给我们普及了球体的体积公式，这次更是连实验也没有做，直接跟我们说球体的体积公式是；但是老师好像一直没有跟我们说这个公式怎么推导的，直到大学学了微积分才知道，但是阿基米德和祖堩早在几千年前就知道这些公式了，那会还没有微积分呢，下面让我们看看他们怎么推导的吧。

要求体积就不得不提到祖堩原理。祖堩原理其实是刘徽先提出来的，刘徽说：“幂势既同，则积不容有异。”翻译翻译意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。这个原理的证明好像是卡瓦列里证明的，这是后话了，我们也不用去证明它，拿来用就成了，这个原理也挺朴素的，有点不言自明的感觉。

祖堩原理-截面相同的立方体体积相同

用祖堩原理求体积的思路就是构造一个立方体（这个立方体的面积公式是已知的，比如说正方体、棱锥），它的截面积与所求的原立方体截面积处处相等就成了，感觉挺绕的，下面我们来求圆锥的体积，直接上图。

如图所示，构造一个与圆锥底面积、高相等的三棱锥，根据相似三角形原理，可以容易证明，用平行于底面的平面去截，得到的圆锥和棱锥在相同高度的截面积都是相等的，设截面高度h，圆锥和棱锥的高为H，底面积为S，则截面积为,则圆锥的体积等于等地等高的三棱锥的体积，而三棱锥的体积公式为三分之一底面积乘高（通过把一个三棱柱切割成三个相等的三棱锥得到），所以圆锥的体积公式为。

接着来算球的体积，同理构造一个体积和球相等的形状就行了，有两种构造方法，一种算起来简单的，一种构造起来很直观的算起来难的。先说算起来简单的吧，上图。

图中右边的的形状是一个圆柱抠掉一个圆锥留下的部分，圆柱的底面半径和高都是圆半径r，利用勾股定理和相似三角形原理可以得出球的截面和该构造体的截面都是,则半球的体积就等于圆柱的体积减去圆锥的体积=,则球的体积为。

上面这个构造方法是卡瓦列里提出的，算起来很简单，构造非常巧妙，我想是在阿基米德已经得出了球的体积公式基础上提出来的；其实还有一种朴素的构造方法;以球的每个截面做外接正方形，把这些正方形堆叠起来构造出一个形状，这个构造最初是由刘徽提出的，这玩意被他叫做牟和方盖。

牟和方盖-就是两个圆柱相交的部分

牟和方盖和球的截面面积之比为4：π，根据祖堩原理，牟和方盖和内接球的体积之比为4：π，只要求出牟和方盖的体积就能知道球体的体积了。这个东西光是想想就头疼，更不用说去求体积了，刘徽当时也没求出来，后来还是祖堩求出来的。

求牟和方盖画图实在是太麻烦了，有时间再补吧。聪明的小伙伴可以自己求出来超越刘徽，用勾股定理就成了。