高I立体几何之构造辅助平面法 [复制链接]

-科学思维-

什么叫科学思维？

乒乓球落地反弹后，

上升的高度越来越低，

也许是什么东西流失了。

向日葵总是面朝阳光，

也许想从太阳那里获取什么。

科学思维就是从习以为常的现象中，

找到现象背后的东西。

高中立体几何之

构造辅助平面法

立体几何中，某些动态中研究平行、垂是直关系时，因为是动态的，难以运用静态的判定、性质定理进行定性、定量分析，因此此类问题往往构造辅助平面，使得问题轻松解决！这种方法，类似于平面几何中构造辅助线、辅助圆。

类型一：构造某面的平行平面。

原理：某两平面平行，一平面内任意一条直线必平行于另一个平面；

案例1：如下正方体，M,N分别为棱中点，在四边形CC1D1D中（包含边界）动点O，使得BO//平面AMN，画出动点O轨迹；

解答：如上面第二幅图，过B构造平行平面BPQR,又动点O在平面CC1D1D中（包含边界），故O点轨迹为线段QR;

案例2:如下正方体，在四边形CC1D1D上（包含边界）动点O，使得BO//平面AB1D1，画出动点O轨迹；

解答：如上面第二幅图，过B构造平行平面BC1D,又动点O在平面CC1D1D中（包含边界），故O点轨迹为线段C1D;

类型二：构造某线的垂直平面。

原理：某直线垂直于平面，该直线必垂直于平面内任意一条直线；

案例3：如下正方体，在四边形A1B1C1D1上（包含边界）动点O，使得AO垂直于直线A1C，画出动点O轨迹；

解答：如上面第二幅图，过A构造直线A1C的垂直平面AB1D1,又动点O在平面A1B1C1D1上（包含边界），故O点轨迹为线段B1D1;

案例4：如下三棱锥，PA垂直于平面ABC，底面是角C为直角的三角形，且PA=AC，在三角形PBC（含边界）上有动点O，使得AO垂直于直线PC，画出动点O轨迹；

解答：如上面第二幅图，取PC中点M，构造PC的垂直平面AMB,又动点O在三角形PBC（含边界）上，故O点轨迹为线段MB。

1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.

解答：取B1C1中点P,构造平面NPFH//平面B1BDD1.易得M点在线段FH上；

2.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是()

A.B.[,2]

C.[2,2]D.[1,2]

解答：构造A1C的垂面BC1D，易得P点在线段C1D上运动；

3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是.

解答：构造平面D1AC∥平面EFG，易得P在对角线AC上运动。