一、填空题
1．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为_______.
连接交与点则有折叠后为正棱锥的斜高因此设求出棱锥的高底面积得体积再结合导数知识得最大值．
由题，连接交与点由题意，
即的长度与的长度或成正比设则
三棱锥的高
则
令令
即令即则即
∴体积最大值为.
故答案为：．
二、解答题
2．如图甲为直角三角形ABC，B=，AB=4，BC=，且BD为斜边AC上的高，将三角形ABD沿BD折起，得到图乙的四面体A-BCD，E，F分别在DC与BC上，且满足，H，G分别为AB与AD的中点.
（1）证明：直线EG与FH相交，且交点在直线AC上；
（2）当四面体A-BCD的体积最大时，求四边形EFHG的面积.
（1）证明见解析；（2）.
（1）利用得但不相等，即可证得直线相交，利用基本事实3即可证得交点在直线AC上；（2）先利用线面垂直的判定定理证得平面，即可证得，同理又，即可证得四边形为直角梯形，利用梯形面积公式求得其面积.
（1）证明：由题意知，，
但，
所以直线与FH相交，
设交点为，因为平面，
平面，
同理平面，
又因为平面平面，
所以.
（2）解：由题意知，
所以平面，
又平面，
所以，
同理又，
所以四边形为直角梯形，
因为，
所以，
则，
所以
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