北京最好白癜风医院专家 https://wapyyk.39.net/bj/zhuanke/89ac7.html补形在立体几何问题中的应用
李秀元武刚
(1.湖北省武穴市实验高级中学；2.湖北省武穴中学)
摘要：直观性是立体几何问题的突出特点，借助物体感受空间形态，借助直观图形培养学生空间想象能力，达到提升直观想象核心素养的目的.图形残缺(不全面)是制约学生认知的关键因素.本文从7个角度，展示补充图形为问题解决带来的好处.
关键词：立体几何；直观；补形；空间想象
直观性是立体几何问题的一个突出特点.借助几何图形，感知空间点、线、面的位置关系、形态变化与运动规律.图形残缺不明是制约学生认知的一个关键因素.补全图形是基于逻辑推理，发展学生空间想象能力的重要手段.下面从7个角度，展示补形为问题解决带来的好处.
一、补形判断位置关系
线面位置关系的判断，是立体几何发展空间想象能力的重要方式，主要涉及到线面平行和线面垂直.图形残缺会影响到学生对关系判断依据的确认，补全图形可以很好地解决直观判断这一问题.
例1如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点.试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果不平行，说明理由；如果平行，请在平面内作出一条与B1F平行的直线，并说明理由.
图1图2
解析线面平行最直接的判断方法是线线平行，用△A1BE表示平面，较难发现与B1F平行的直线.考虑将△A1BE延展成正方体的截面A1BME(M为CD的中点)，如图2，问题便一目了然，与B1F平行的直线即为BM.
二、补形确定点的位置
例2如图3所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1内的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1内的轨迹长度是____.
图3图4
解析由于直线B1F是过定点B1的动直线，要满足B1F∥平面A1BE，则需要寻找过点B1且与平面A1BE平行的平面.平面平行的判定是由线面平行来完成的.直接过B1作平面A1BE的平行线，最多只找到一条A1E，无法确定平面.
将ΔA1BE扩展成正方体的截面A1BGE(G为CD的中点)，如图4，再作平行线就清晰多了.分别取CC1、C1D1的中点N、M，连MN，B1M，B1N.显然有B1M∥BG，B1N∥A1E，故平面B1MN∥平面A1BE.而点F在侧面CDD1C1内，也在平面B1MN内，即两平面的交线MN上，从而点F在侧面CDD1C1内的轨迹长度是
三、补形确定平面的交线
例3如图5，点E、F在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1、BB1上(不是端点)，试画出平面AEF与平面ABCD的交线.
图5图6
解析确定两个平面交线的理论依据在于公理3和公理1.由于平面AEF和平面ABCD有公共点A，故只需找到两平面另外的一个公共点即可.过点E作EN⊥DC，交DC于点N，连接NB，则BF∥EN，而BF≠EN，所以EF和NB延长必相交，设交点为M，连接AM.因为M∈EF，所以M∈平面AEF.同理，M∈平面ABCD，即点M为平面AEF和平面ABCD的公共点.所以，直线AM为平面AEF与平面ABCD的交线.
四、补形求二面角的大小
例4如图7，在三棱锥P-ABC中，PC⊥AB，M、N分别是线段AB、AP的中点，且
图7图8
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)现给出四个条件：①②AB=PA；③CM⊥AB；④BC⊥AC.请从中选择两个条件，使得平面MNC与平面PBC所成的锐二面角能够确定，并求出其余弦值.
解析(1)由得PC⊥CA.又PC⊥AB，所以PC⊥平面ABC，而PC?平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC；
(2)分析4个条件，发现①和④是等价的.选两个条件就只有2种组合：①②和①③.
选择①②.此时ΔPAC和ΔPBC都是等腰直角三角形.为了求平面MNC与平面PBC所成的锐二面角，一般选用空间向量法，易于计算.不建坐标系的话，则需要补充图形，作出二面角的棱，进而作二面角的平面角.如图8，过点C作直线l∥PB，由于MN∥PB，则l∥MN.故直线l为平面MNC与平面PBC所成二面角的棱.过点C作CE⊥PB于E，CF⊥MN于F，连EF，则CE⊥l，CF⊥l，所以∠ECF为二面角MN-l-PC的平面角.设AC=BC=1，则所以即平面MNC与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为
五、补形求线段比
例5如图9，在四棱锥P-ABCD中，分别为线段CD、AC的中点，PO⊥平面ABCD.
图9图10
(1)求证：平面PBM⊥平面PAC；
(2)线段PM上是否存在一点N，使得ON∥平面PAB？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解析(1)如图10，在直角梯形ABCD中，所以AC=4，∠BAC=30°，∠ACB=60°，从而∠CAD=60°.又AD=4，所以ΔACD为等边三角形，∠ACD=60°，因此∠CBM=30°，所以BM⊥AC.又PO⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，所以PO⊥BM.而PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC，所以BM⊥平面PAC.因为BM?平面PBM，所以平面PBM⊥平面PAC.
(2)若以A为原点建立空间直角坐标系，则A、B、C、D、M的坐标可求，但点P坐标未知，既影响到平面PAB法向量的计算，也影响到N点坐标的确定，能不能确定，计算之前心里没底.
由于点N存在性待定，即使存在，位置也是待定的.因此，考虑寻求过点O且与平面PAB平行的平面，此平面与PM相交，即得N点.
如图11，延长AB、DC，交于点E，过O作OF∥AE，交CE于点F，则OF∥平面PAB，且F为EC中点.若ON∥平面PAB，则平面PAE∥平面ONF.因为平面PAB∩平面PED=PE，平面ONF∩平面PED=NF，所以NF∥PE.因此
图11
六、补形求点面距离
例6如图12所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
图12图13
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
解析依题意，知四边形AEC1F为平行四边形.
(1)过F作FM⊥CC1于M，则RtΔABE≌RtΔFMC1.又CC1=3，BE=1，故DF=CM=2.所以
(2)如图13，延长C1E、CB，交于点N，连AN，则AN?平面AEC1F，且BN=1.所以点C到平面AEC1F的距离，即点C到平面ANE的距离.设点C到平面AEC1F的距离为h，由VC-ANE=VA-NCE，得解得即点C到平面AEC1F的距离为
七、补形求外接球的体积(表面积)
我们知道，任何三棱锥都有外接球.我们更知道，任何长方体都有外接球，且球心为对角线的中点.一般情形下三棱锥的外接球球心是不易确定的，如果能将三棱锥补形成长方体，解决问题也就轻而易举了.
例7已知正四面体的棱长为则其外接球的体积为____.
解析正四面体的6条棱长都相等，而正方体6个面的对角线也相等.将正四面体补形成正方体，如图14，则正方体的棱长为1，对角线长为所以外接球的体积为
图14
参考文献：
[1]人教社课程教材室.普通高中课程标准实验教科书数学(必修2)[M].北京:人民教育出版社，.
作者简介：李秀元(.11-)，男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
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