白癜风怎么办 http://m.39.net/pf/a_5214847.html原题
原题：已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC=3，AB=2√3，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是？
图一
要想解答这道题，主要要知道：过点E作球O的截面，什么时候所得的截面面积最小？
截面与OE垂直时截面最小
想要在找到过点E作球O的最小截面，就要找到该圆面的最小直径。在所有的与OE相交的直线中最短的直线就是OE垂直平分的弦，以这个弦为直径则所得截面最小，即这个圆面恰是以E为圆心的圆面。
所以只要求出OE垂直平分的弦，再根据圆面积公式就可以计算出最小截面的面积。
求出OE垂直平分弦的大小
要想求出OE垂直平分弦的大小，就要先画出图形，如图二：
图二
其中O1是正三棱锥底面积的外心，因为正三棱锥的底面积是正三角形，所以O1既是外心也是重心也是内心，也是O的投影，O是球心，连接O1D，O1E，OD，OE。三角形各个心的汇总以及性质的证明过程
因为BC=3，所以得出O1D=√3。
因为AB=AD=2√3，所以在直角三角形ADO1中根据勾股定理有O1A=3。
在直角三角形ODO1中根据勾股定理有OD^2=O1O^2+O1D^2，设球半径为R，则有R^2=(3-R)^2+3，解得出R=2。
在三角形O1DE中，根据余弦定理得到O1E^2=DE^2+O1D^2-2O1D·DEcos∠O1DE，解得到O1E=1。
在三角形OO1E中，根据勾股定理得到OE=√2.
图三
如图三中在直角三角形OEF中，根据勾股定理求出EF=√2，即过点E作球O的最小截面的半径为√2。最后根据圆面积公式就可以求出过点E作球O的最小截面的面积。
具体做法
第一步，找到过点E作球O的最小截面时的条件。
第二步，求出OE和求半径的大小。
第三步，求出结果。
具体详细步骤如图四：
图四
最后得出最小截面的面积为2π。
总结
这道题主要考察的是空间想象能力以及圆和圆上弦的运用。与圆的直径相交固定点的弦中，被直径垂直平分的弦最短；与球的直径有固定的相交点的圆面，当球直径垂直的圆面时，该圆面的面积最小。
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