广点通求职招聘交流微信群 http://www.gpitp.gd.cn/new/20210906/95713.html(即高中数学必修2-第18讲综合应用之“几何体计算问题的典例精讲”)
1.题型说明
1)常见几何体计算问题的综合应用题型
a)要点1：公式与方法
熟练掌握常见几何体的体积和表面积计算公式、以及与其相关的基础应用。
b)要点2：概念辨析
i.常见的四棱柱（大致地，从上往下意为从一般到特殊）
①平行六面体——底面为平行四边形的四棱柱
②直棱柱——侧棱垂直底面的棱柱
③长方体——底面为长方形的直棱柱
④正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
⑤正方体——侧面为正方形的正棱柱
ii.常见的棱锥
①直棱锥——顶点在底面的投影处在正中心
②正棱锥——底面为正多边形的直棱锥
③正四面体——每个面均为正三角形的正棱锥
2)内切球和/或外接球计算问题的综合应用题型
熟练掌握“内切球和外接球计算”基础应用——其中的解题一般方法与技巧是关键！详见相关文章。
2.典型示例
例1在四个彼此都外切、半径为R的等球内放一个小球，求小球的最大半径___。
讲解：
①本题有一定的难度，考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力——利用“对称性”，识别出正四面体是关键。
②解答这类题关键在于理解和把握或善用图形的对称性和中心点。本题中，首先分析出小球半径最大时的位置，应与各大球相切，此时小球球心与正四面体的中心重合！由此，可构造出所需的直角三角形、可得到有用的等量关系。
思考：小球半径最大时与四面体的各面相切吗？
提示：若你对解题过程中的‘3/4’不理解，说明你对“内切球和外接球计算”基础应用的学习和掌握不到位，需要重新学习！
例2在一个正四面体内放四个等球，四个球彼此都外切，如果球的半径是R，正四面体高的最小值为___。
解：正四面体要以最少的空间放进4个小球,则四个小球必定是三个在下一个在上,且四个小球两两相切、各球与正四面各面相切,所以各球球心也构成一个小的正四面体结构(四面体的棱长为2R,如图).设大正四面体的高为H，小正四面体的高为h。
利用对称性可知，这两个正四面体中心重合。又由正四面体性质可推得其中心把高分为比为3:1的上下两部分，所以可得(见上右图)：
讲解：
①图形的中心与对称性是这类题的关键特征和性质，可推导出或分析出一系列隐含的性质和可知条件，所以解题时一定要善加利用！
例3棱长为2√3的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（
）
解：如图。由题意，此时的球与正四面体相切，可知四个面的面积均为：
讲解：
①两球相切时，球心之间的距离是这类题的一个关键特征和性质，解题时一定要善加利用！
②球与平面相切时，球心到平面距离就是球的半径r。
③本题除了例题所示解法，也可利用相似三角形AO1H与AOF之间的比例关系来更便捷地求解。
例4已知正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．
解：如图,依题意：
讲解：
①球与平面相切时，球心到平面距离就是球的半径r。
②正三棱锥内切球心位置不确定（因高不同而不同），但可知其投影在底面中心上。
③此题还可用体积法求解——正三棱锥总体积=四个高均等于内切球半径的三棱锥体积之和。
例5如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为()
A.1+b/a,a+bh,B.1+b/a,a+bh,C.1+a/b,a+bh,D.1+a/b,a+bh
解：如图。设啤酒瓶的底面积为x，酒瓶的容积为1，则：
ax=1-bx，（提示：酒量不变）
解得x=1/(a+b),
∴酒的体积为V为：
V=1/(a+b)×a=a/(a+b),
∴酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为：
1：a/(a+b)=1+b/a;
依题意有aa’,
∴a+ba’+b=h
故选B。
讲解：
①在动点、折叠等问题中，图形状态发生变化，解题的关键就在于识别其中的变与不变部分，并从中寻找破题线索。本题也类似，图形状态发生变化，但酒量不变，所以此为解题的突破口所在。
例6（高考数学理全国I卷真题）．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）。
讲解：
①本题也可以利用函数方程思想，列出截面的面积的关于x的代数式（方程），然后再求其值域(最值)。这种思路多用于解答题，而本题为选择题，所以采用更快捷地数形结合法来解答。
②由于立体几何模块相对更独立些，所以综合应用题型更多的是模块类不同基本问题的结合，如不同几何体如棱锥与圆、不同的基本问题如平行与垂直、面积与体积等。而本题的动点问题是立体几何少有的可与其它模块如函数结合来解答的题型。
③虽然本题的解答过程看上去简捷，但该题作为选择题的压轴题还是由一定难度的，尤其正方体的性质考得比较活，并不是每个同学都能快速、准确地解出来的。其关键还是基础要扎实，融会贯通方能灵活运用、游刃有余。
④本题也示例了数形结合法在选填题的解答中的优越性。
