原题
原题：如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PC⊥BC，AB⊥BC，AB=2BC=2，PC=√5，则PA与平面ABC所成角的大小？三棱锥P-ABC外接球的表面积是多少？
图一
要想求出PA与面P-ABC所成的角的大小，首先要找到或者作出该角来，要想作出该角就要先找到P点到平面P-ABC的垂线，而这道题配上这样的图形很难想象得出P点到平面ABC垂线的位置，它又具有哪些性质，从而也限制了我们的思维，不能将题很好的解答出来。
在立体几何中图形画出的越全面越能增强我们空间想象的能力，所以要想找到P点到平面P-ABC的垂线，就要拓展该图形，开阔我们的视野，增强我们想象的空间。
拓展图形
一般对于三棱锥我们都会将其拓展成四棱锥的形式，而对于四棱锥可以拓展成正方体或者长方体的形式。
在三棱锥P-ABC中作平行四边形ABCD，连接PD，则三棱锥P-ABC就变成四棱锥P-ABCD。
图二
如图二所示，将三棱锥拓展成四棱锥后，我们才恍然大悟——才知道P点到平面ABC的垂线应该是谁了，也就明确了正确的解答方向。
得出PA与平面ABC所成角的大小
因为AB⊥BC，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形是矩形，所以BC⊥CD，又因为PC⊥BC，且PC和CD又是相交直线，所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PD①。
同理，四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，又因为PA⊥AB，且PA和AD是相交直线，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD②。
根据①②以及AB和BC是相交直线，所以PD⊥平面ABC，所以PD是点P到面ABC的垂线，则∠PAD就是直线PA和平面ABC所成的角。
因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，AD=BC，又因为AB=2BC=2，所以CD=2，BC=AD=1。
因为AB⊥PD，AB∥CD，所以CD⊥PD，所以三角形PDC是直角三角形，又因为PC=√5，CD=2，所以在直角三角形PDC中根据勾股定理，则有PD=1.
所以在三角形PAD中有tan∠PAD=PD/AD=1/1=1，所以∠PAD=π/4.
求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积
要想求出三棱锥P-ABC外接球的表面积就要先找该外接球的半径R，然后根据该外接球半径和三棱锥各边的关系求出该外接球半径的大小，最后根据外接球表面积公式S=4πR^2，求出该外接球的表面积。
所以这问解答的关键在于如何找到该外接球的半径R，要想找到该球的半径还要找到该球的球心O。
这需要我们知道：该外接球的球心O与过面ABC截得该外接球所成的圆面的圆心O1的连线垂直该面ABC；在三棱锥当中不同面内的直角三角形的直角所对应的公共直线是该三棱锥的外接球的直径。
图三
因为PA⊥AB，所以∠PAB=90度，该直角PAB所以对应的直线为PB；连接BD交于AC于O1，因为PD⊥ABC，所以PD⊥BD，所以∠PDB=90度，该直角PDB所对应的直线为PB。
所以PB是该三棱锥外接球的直径，即该外接球的球心在该直线PB上。
过点O1平行直线PD交于PB于点O，则O就是该三棱锥的外接球球心，直线OA就是该外接球的半径。
因为PD垂直平面ABC，又因为OO1平行直线PD，所以直线OO1垂直平面ABC，又因为O1点是矩形ABCD对角线的交点，所以点O1是BD的中点，所以O是PB的中点，又因为点P、B、A都在外接球上，所以PO=OB=OA=R，所以有上述的结论。
图四
因为四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，所以在直角三角形ABC中根据勾股定理有AC=√5，所以AO1=√5/2.
因为O1和O分别是BD和PB的中点，所以OO1=PD/2，又因为PD=1，所以OD=1/2。
在直角三角形AOO1中，根据勾股定理有OA=√6/2.
所以该三棱锥P-ABC的外接球的半径R为√6/2。
根据外接球的表面积公式S=4πR^2=4π×6/4=6π。
总结
所以在立体几何中，学会拓展图形是非常重要的，图形一旦拓展出来后，题一下就变得简单且思路明确了，让人一目了然。
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