一．选择题（共6小题，每小题8分，共48分）
1、已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（
）
A、a⊥α且a⊥βB、α⊥γ且β⊥γC、a?α，b?β，a∥bD、a?α，b?α，a∥β，b∥β正确答案
A
解析
解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；
选项C，a?α，b?β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；
选项D，a?α，b?α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；
故选：A．
2、平面α与平面β平行的条件可以是（
）
A、α内有无穷多条直线与β平行B、直线a∥α，a∥βC、直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥αD、α内的任何直线都与β平行正确答案
D
解析
解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．
当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选B．
当直线a?α，直线b?β，且a∥β时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C．
当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，
故选：D．
3、已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题是（
）
A、①②B、②③C、③④D、①④正确答案
D
解析
解：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β＝l．错误的命题．
③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．
④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．
故选：D．
4、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（
）
A、1个B、2个C、3个D、4个正确答案
B
解析
解：①α与β平行．此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．
②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．②不正确．
③不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；
④可以判定α与β平行．
∵可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．
又∵l∥β，m∥β，
∴l′∥β，m′∥β，
∴α∥β．
故选：B．
5、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（
）
A、若m?α，n∥α，则m∥nB、若m∥α，m∥β，则α∥βC、若α∩β＝n，m∥n，则m∥βD、若m⊥α，m⊥β，则α∥β正确答案
D
解析
解：若m?α，n∥α，则m与n可能平行也可能异面，故A为假命题；
若m∥α，m∥β，则α与β也可能相交，故B为假命题；
若α∩β＝n，m∥n则m可能在平面β上，故C为假命题；
在D中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
故选：D．
6、已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（
）
A、n⊥βB、n∥β，或n?βC、n⊥αD、n∥α，或n?α正确答案
D
解析
解：由题意结合图形易知D正确
故选：D．
二．解答题（共4小题，共52分）
7、（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：
（1）证明：平面A1BD∥平面D1B1C；
（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．
正确答案
见解析
解析
证明：（1）因为A1D∥B1C，A1D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD．
因为BD∥B1D1，BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD．
又B1D1∩B1C＝B1，
所以平面A1BD∥平面B1D1．
解：（2）因为BD∥B1D1，
所以∠A1BD就是异面直线A1B与B1D1所成角或其补角．
又因为A1B＝BD＝A1D，所以∠A1BD＝60°，
所以异面直线A1B与B1D1所成角的大小为60°．
8、（10分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．
求证：平面MDB1∥平面ANC．
正确答案
见解析
解析
证明：如图，连接MN．
∵M，N分别是所在棱的中点，
∴四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形．
∴MB1∥AN，CN∥MD．
又∵MB1?平面MDB1，MD?平面MDB1，MB1∩MD＝M，
∴MB1∥平面ANC，MD∥平面ANC．
∴平面MDB1∥平面ANC．
9、（14分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．
（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PA⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求几何体M﹣ABC的体积．
正确答案
见解析
解析
证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴0C：OA＝BC：AD＝2，
又BN＝2NA，
∴ON∥BC∥AD，
∵AD?平面PAD，ON?平面PAD，
∴ON∥平面PAD，
在△PAC中，
∵OC：OA＝BC：AD＝2，CM＝2MP，
∴OM∥AP，
AP?平面PAD，OM?平面PAD，
∴OM∥平面PAD，
∵OM?平面OMN，ON?平面OMN，且OM∩ON＝0，
∴平面MNO∥平面PAD；
（Ⅱ）在△PAD中，PA2＝PD2+AD2﹣2PD?AD?cos∠PDA＝3
∴PA2+AD2＝PD2，即PA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD
∴PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知OM∥AP，
∴MO⊥平面ABC
且MO＝AP＝
在梯形ABCD中，CD＝BC＝2AD＝2，
∠BAD＝90°，
∴AB＝，
∴△ABC的面积S＝AB?BC＝
∴几何体M﹣ABC的体积V＝MO?S＝
10、（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝1，PA＝2．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．
正确答案
见解析
解析
解：（1）取AD中点F，连接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴AC＝＝2
又∵Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴AD＝4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形
∴∠ACF＝∠BAC＝60°，可得CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB?平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE?面CEF，∴CE∥平面PAB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC
过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC
∴EH∥CD
Rt△ACD中，AC＝2，AD＝4，∠ACD＝90°，所以CD＝＝2
∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH＝CD＝
∵PA⊥AC，∴SRt△PAC＝＝2
因此，三棱锥E﹣PAC的体积V＝S△PAC×EH＝.
声明：本
