一、选择题（每小题4分，共48分）
1、已知i为虚数单位，复数z=（1+i）（2+i），则其共轭复数=（
）
A、1+3iB、1-3iC、-1+3iD、-1-3i正确答案
B
解析
解：∵z=（1+i）（2+i）=2+i+2i-1=1+3i，∴＝1?3i．故选：B．
2、已知数列a1，a2-a1，a3-a2，…，an-an-1是首项为1，公差为2的等差数列，则a3等于（
）
A、9B、5C、4D、2正确答案
A
解析
解：由题意可得，an-an-1=1+2（n-1）=2n-1，a1=1，故a2=4，a3=9，故选：A．
3、“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（
）
A、B、C、10D、正确答案
B
解析
解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，向正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分内，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P==；而P=，则=，解可得，S=；故选：B．
4、tan（-°）=（
）
A、2+B、-2+C、-2-D、2-正确答案
D
解析
解：∵tan30°=tan（2×15°）==，∴可得tan°+6tan15°-=0，∴解得tan15°=2-，负值舍去，∴tan（-°）=-tan（°-15°）=tan15°=2-．故选：D．
5、函数f（x）=的图象大致为（
）
A、B、C、D、正确答案
B
解析
解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不对称，排除C，当x→+∞，f（x）→+0，排除D，f（x）＞0恒成立，排除A，故选：B．
6、正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为（
）
A、4πB、8πC、16πD、20π正确答案
C
解析
解：正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，设它的外接球的半径为R，球心为O，底面ABCD的中心为M．
设OM=x．
则R2=x2+（）2，R+x=3．解得：R2=4．可得球的表面积为16π．故选：C．
7、设复数z满足
z-1
=1，则z在复平面内对应的点为（x，y），则（
）
A、（x+1）2+y2=1B、（x-1）2+y2=1C、x2+（y-1）2=1D、x2+（y+1）2=1正确答案
B
解析
解：设z=x+yi（x，y∈R），由
z-1
=1，得
（x-1）+yi
=1．∴（x-1）2+y2=1．故选：B．
8、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（
）
A、45B、50C、55D、60正确答案
B
解析
解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.+0.）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．
9、为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=，yi=，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（
）
A、B、C、D、正确答案
C
解析
解：由线性回归方程为=4x+，则=xi=22.5，=yi=，则数据的样本中心点（22.5，），由回归直线方程样本中心点，则=-4x=-4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=，则估计其身高为，故选：C．
10、执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（
）
A、0B、1C、2D、3正确答案
C
解析
解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．
11、函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（
）
A、(2kπ+，2kπ+)，k∈ZB、(2kπ?，2kπ+)，k∈ZC、(2k+，2k+)，k∈ZD、(2k?，2k+)，k∈Z正确答案
C
解析
解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象，可得·=-，∴ω=π．再根据五点法作图，可得π×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（πx+）．令2kπ-≤πx+≤2kπ+，求得2k-≤x≤2k-，故函数的增区间为[2k-，2k-]，k∈Z．再把k换成k+1，可得函数的增区间为[2k+，2k+]，k∈Z，故选：C．
12、抛物线方程为x2=4y，动点P的坐标为（1，t），若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（
）
A、B、-C、2D、-2正确答案
A
解析
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），两点代入抛物线的方程：，两式相减可得=，而由题意可得x1+x2=2×1=2，所以直线的斜率k====，故选：A．
二、填空题（每小题6分，共30分）
13、为了抗击新型冠状病*肺炎，某医药公司研究出一种消*剂，据实验表明，该药物释放量y（mg/m3）与时间t（h）的函数关系为y=，（如图所示）实验表明，当药物释放量y＜0.75（mg/m3）对人体无害．
（1）k=
（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消*剂对房间进行消*，则在消*后至少经过分钟人方可进入房间．
正确答案
2，40．
解析
解：（1）由图象可知，当t=时，y=1，∴＝1，∴k=2；
（2）由（1）可知：y=，当t≥时，y=，令y＜0.75得，t＞，∴t＞，∴在消*后至少经过小时，即40分钟人方可进入房间.
14、列{an}的前n项的和Sn=2n-1，则an=
正确答案
2n?1
解析
解：∵数列{an}的前n项的和Sn=2n-1，∴n=1时，a1=S1=2-1=1；n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1．n=1时，2n-1=1=a1．∴an＝2n?1．
15、函数y=ln（x-3）的零点是
正确答案
4.
解析
解：令函数y=ln（x-3）=0，求得x-3=1，x=4，故函数y=ln（x-3）的零点为4.
16、已知AB是过抛物线y2=4x焦点F的弦，O是原点，则·=
正确答案
-3
解析
解：设直线l：x=my+1（由于有两个交点，直线l的斜率必存在），联立得：y2-4my-4=0，由韦达定理：y1+y2=4m，y1y2=-4．所以x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=-4m2+4m2+1=1．
·═（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2=-4+1=-3．
17、记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3=-1，S3=-3，则a1=
正确答案
1或-4．
解析
解：因为a3=-1，S3=-3，q=1时，显然满足，此时a1=-1，q≠1时，，整理可得，2q2-q-1=0，解可得，q=1（舍）或q=-，a1=-4.
三、解答题（每小题12分，共72分）
18、为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起“的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格“．
（I）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关？
（II）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，求这2个学生性别不同的概率．附：
K2=，n=a+b+c+d．
正确答案（I）见解析；（II）所求的概率值是P=.解析
解：（I）根据茎叶图填写2×2联表，如下；
计算K2==≈3.＞3.，所以有95%以上的把握认为“性别“与“问卷结果“有关；
（II）从茎叶图中的数据知，成绩在60分以下（不含60分）的男生是4人，记为a、b、c、d，女生是2人，记为E、F，从这6人中任意选2人，基本事件是：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种，其中这两个学生性别不同的是aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种，所以所求的概率值是P=.
19、已知函数f(x)＝sinx?cosx．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=1，a＝，c=2，求边b的长和∠C的大小．
正确答案（Ⅰ）函数f（x）的单调递增区间是[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z；（II）b=1；∠C=.解析
解：（Ⅰ）函数f(x)＝sinx?cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-）；令-+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z；-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间是[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z；
（II）△ABC中，f（A）=2sin（A-）=1，所以sin（A-）=；又A∈（0，π），所以A-∈（-，），所以A-=，解得A=；又a=，c=2，所以a2=b2+c2-2bccosA，即3=b2+4-2×2b×cos，化简得b2-2b+1=0，解得b=1；且a2+b2=c2，所以∠C=.
20、已知函数f（x）=axex（a∈R，a≠0），g（x）=x+lnx+1．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）≥g（x）恒成立．
正确答案
见解析
解析
解：（I）f′（x）=a（x+1）ex，a≠0，当a＞0时，易得x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当a＜0时，易得x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减；
（II）当a=1时，要证明f（x）≥g（x）代入可得，即证明1≥，x＞0，令F（x）=，x＞0，则F′(x)＝，令t（x）=x+lnx，x＞0，则t′（x）=1+＞0，即t（x）在（0，+∞）上单调递增，且t（）=?1＜0，t（1）=1＞0，故存在x0∈（，1）使得t（x0）=x0+lnx0=0，从而有F（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，故F（x）max=F（x0）==1，故F（x）≤1．因此f（x）≥g（x）恒成立，法二：令h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1，易得，当x＞0时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，h′（x）＜0，函数单调递减，故当x=0时，h（x）取得最小值h（0）=0，即ex≥x+1，x=0时取等号，故xex=ex+lnx≥x+lnx+1，当x+lnx=0时取等号，所以当a=1时，xex≥x+lnx+1恒成立．综上不等式f（x）≥g（x）恒成立．
21、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0，直线l1和直线l2的极坐标方程分别是θ=α（ρ∈R）和θ＝α+(ρ∈R)，其中α≠kπ（k∈z）．
（I）写出曲线C的直角坐标方程；
（I）设直线l1和直线l2分别与曲线C交于除极点O的另外点A，B，求△OAB的面积最小值．
正确答案（Ⅰ）直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）S△OAB＝
OA
OB
＝
=
≥16．解析
解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρcos2θ-4sinθ=0，转换为直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）直线l1和直线l2的极坐标方程分别是θ=α（ρ∈R）和θ＝α+(ρ∈R)，其中α≠kπ（k∈z）．所以整理得ρ1＝
同理ρ2＝
=
所以S△OAB＝
OA
OB
＝
=
≥16．
22、已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l过点P（1，2）且倾斜角为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
（2）设l与C的两个交点为A，B，求
PA
+
PB
．
正确答案（1）曲线C的方程为?y2＝1．直线l方程为（t为参数）．（2）
PA
+
PB
=
t1+t2
＝32?4.解析
解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为?y2＝1．直线l过点P（1，2）且倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数）．
（2）把直线的参数方程代入-?y2＝1，得到t2?(32?4)t+76＝0，所以t1+t2＝32?4，t1t2=76，所以
PA
+
PB
=
t1+t2
＝32?4.
23、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求三棱锥B-DEF的体积．
正确答案
见解析
解析
（1）证明：连接AC交BD于G，则G是AC的中点，连接EG，
则EG是△PAC的中位线，则PA∥EG，又∵PA?面EDB，EG?面EDB，∴PA∥平面EDB；
（2）解：∵PD⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD=D，∴BC⊥面PCD，又DE?面PCD，∴DE⊥BC，∵PD=CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∴DE⊥面PBC，得DE是三棱锥D-BEF的高．经计算得，DE＝，BC＝1，PC＝2PE＝，PB＝，由Rt△BCP～Rt△EFP，得==，得PF＝=，EF＝=，BF＝．∴VB?DEF＝VD?BEF＝S△BEF?DE＝××BF?EF?DE＝.
声明：本
