例1已知三棱锥
的四个顶点在球
的球面上，
，
是边长为
的正三角形，
分别是
的中点，
,则球
的体积为
.
解：以
为原点建立如下图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为
设
，则
由
得：
又由
得：
由
解得
，设
外接球球心
，半径为
，则由
得：
即有
即外接球体积为
注：这题好像是年全国卷一理数一题.
例2三棱锥
中，
平面
，
，则该三棱锥的外接球表面积为
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
易得各点的坐标为
设其外接球球心
，半径为
，则由
有
即有
例3已知三棱锥
中，
点
是
的中点，点
在平面
上的射影恰好为
的中点，则该三棱锥外接球的表面积为
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为
设
，由
有
由
是
的中点，记
的中点为
，则
由题
，即
由
得
即
，设其外接球球心
，半径为
；则由
得：
解得
则其外接球表面积为：
例4已知四面体
的一条棱长为
，其余棱长为
，且所有顶点都在表面积为
的球面上，则
的值等于
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为
由
设
，则
解得
设该三棱锥外接球球心
，半径为
，则由
得：
解得：
又球面积为
，即
注意到
，解得
.
例5在正三棱锥
中，
是
的中点，且
，底面边长
，则正三棱锥
的外接球体积为
.
解：以
为原点建立下图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为：
设
，易得
，则由
得
又
，即
，即
由
解得：
设其外接球球心
，半径为
，则由
得：
解得：
即有
则其外接球体积
例6在四面体
中，
二面角
的平面角为
，则四面体
外接球的表面积为
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为
设
，由
有：
又因为平面
的一个法向量为
，设平面
的一个法向量为
，则
不妨取
，则
由
解得：
即
，设其外接球球心为
，半径为
，则由
得：
解得：
即
，故其外接球表面积
例7已知在三棱锥
中，
则三棱锥
外接球的体积为
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
易得各点坐标为
设
，则由
得
解得
，即
，设其外接球球心
，半径为
，则由
得
解得
故外接球半径为
故其体积为
例8已知四面体的一条棱长为
，其余棱长均为
，则这个四面体的外接球的半径为
.
解：以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，记
，其余棱长为
，
易得各点坐标为
设
，则由
得
解得：
即
，设其外接球球心
，半径为
，则由
得：
解得：
即
总结：其实对于绝大部分求外接球半径的问题，只要能建立合理的坐标系，确定好各点坐标，再利用球面上各点到球心的距离都等于球的半径即可解出.当然我并不是很推崇这种作法，传统的方法一般能够更加简洁，但是暴解也不失为一种处理方法.
许伯豪
数学是天赋，勤奋是选择。
