一、课本基础提炼1.异面直线所成的角 （1）定义：过空间任意一点，分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐（或直）角叫做这两条异面直线所成的角． （2）范围：设异面直线所成的角为θ，则θ∈(0，90]． （3）特例：若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直．二、二级结论必备1.求异面直线所成角的步骤 （1）作：通过作平行线得到相交直线． （2）证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角． （3）算：通过解三角形求出该角．1.异面直线所成的角
求异面直线所成的角通常采用“平移线段法”，平移的方法一般由三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
例1如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA′=3AB，则异面直线A′B与AD′所成角的余弦值是（
） A．
B．
C．
D．
A
连结BC′和A′C′，因为D′C′=AB，D′C′//AB，
所以四边形ABC′D′是平行四边形，
所以AD′//BC′，所以∠A′BC′是异面直线A′B与AD′所成角，
设AB=a，则AA′，
在Rt△AA′B中，A′B==，
在Rt△BCC′中，BC′==，
在RtA′B′C′中，A′C′==，
在Rt△a′bc′中，由余弦定理得：，
所以异面直线A′B与AD′所成角的余弦值是，故选A．
本题求异面直线所成的角采用“利用图中已有的平行线平移”，将两条异面直线转化到同一个三角形中，转化成平面问题进行解决．
例2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是（
） A．
B．
C．
D．
C
如图，取A1C1的中点E，连结B1E、DE和BE，因为D是CC1的中点，
所以DE//A1C，DE=A1C，所以∠BDE是CA1与BD所成角，设AB=a，
在Rt△A1EB1中，，
在Rt△A1AC中，，
在Rt△BB1E中，，
在Rt△BCD中，，
因为，
所以BD⊥DE，所以CA1与BD所成角的大小是，故选C．
本题求异面直线所成的角采用“利用特殊点（中点）作平行线平移”，将两条异面直线转化到同一个三角形中，转化成平面问题进行解决．例3如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90o，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小是（
） A．90o
B．75o
C．60o
D．45o
A
如图，延长DA至E，使AE=DA，连结PE，BE，
因为，∠ABC=∠BAD=90o，BC=2AD所以DE//BC，DE=BC，
所以四边形CBED为平行四边形，所以CD//BE，
所以∠PBE是异面直线CD与PB所成的角，
在△PAE中，AE=PA，∠PAE=o，由余弦定理得：
在△ABE中，AE=AB，∠BAE=90o，所以，
因为△PAB是等边三角形，所以PB=AB=AE，因为PB2+BE2=AE2+2AE2=3AE2=PE2，
所以∠PBE=90o，所以异面直线CD与PB所成角的大小是90o，故选A．
本题求异面直线所成的角采用“补形平移”，将两条异面直线转化到同一个三角形中，转化成平面问题进行解决．1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是______．
由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角，
在△BA1C1中，A1B＝，A1C1＝1，BC1＝，
所以由余弦定理得cos∠BA1C1＝，
所以异面直线A1B与AC所成角的余弦值是.2.如图，在体积为的正三棱锥A－BCD中，BD长为，E为棱BC的中点，求：（1）异面直线AE与CD所成角的余弦值；（2）正三棱锥A－BCD的表面积．
（1）过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的中心，
由，得AO＝1.
又在正三角形BCD中得OE＝1，所以AE＝.
取BD中点F，连接AF、EF，故EF//CD，
所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角．
在△AEF中，AE＝AF＝，EF＝.
所以.
所以异面直线AE与CD所成的角的余弦值为.
（2）由AE＝可得正三棱锥A－BCD的侧面积为
，
所以正三棱锥A－BCD的表面积为
.
3.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是______．
②③④
还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN，所以正确命题的序号是②③④.1.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（
） A．
B．
C．
D．
C
如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成正方体ACBD－A1C1B1D1，取AD的中点E，连接ME，MN，则AEMN为平行四边形，
∴ME//NA．∴∠BME为异面直线BM与AN所成的角，
设BC＝1，在△BME中，ME＝BE＝，BM＝，
∴cos∠BME＝＝，故选C.
2.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为______．
过F点作HF∥BE，过A点作EF的垂线AG，垂足为G.连接HG，HE，AH.设正方形ABCD的边长为2， ∵平面AEF⊥平面BCDFE，且AG⊥EF， ∴AG⊥平面BCDFE.∵BE＝BH＝AE＝AF＝1， ∴EH＝EF＝. ∵G为EF的中点， ∴EG＝，AG＝. 又∵HF＝2，∴∠HEG＝90°， ∴在Rt△EHG中，HG＝. ∴在Rt△AGH中，AH＝. ∵HF∥BE，∴AF与BE所成的角即为∠AFH. 在△AHF中，AF＝1，HF＝2，AH＝， ∴∠HAF＝90°， ∴cos∠AFH＝＝， ∴异面直线AF与BE所成角的余弦值为.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）求AC与A1D所成角的大小；（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．（1）如图所示，连接B1C，AB1.
由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，
从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA=60o.
即A1D与AC所成的角为60o.（2）如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC//A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF//BD，∴EF⊥AC．
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
1.已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为______．60o或30o
如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM//AB，且PM＝AB，PN//CD，且PN＝CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝°.
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN＝°，则易知△PMN是等腰三角形．
所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.
综上直线AB和MN所成的角为60°或30°.
2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝，PA＝2.求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．
（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．
因为，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为.（2）如图，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF//BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
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