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为甚么构造三角形简朴，构造四周体就很难呢？
三角形内角和定理使得管教三角形变得很轻易。倘若你不依赖这个定理，又会产生甚么呢？是否存在三个角别离是41°、76°和63°的三角形呢？谜底看起来很简朴。数学课上咱们学过，“三角形的内角和是°”。由于41+76+63=，因此这样的三角形是存在的。但这个题目远比看起来的要繁杂。三角形内角和定理通告咱们，在平面欧几里得好多中，给定一个三角形，它的内角和是°。但咱们的题目并没有给定一个三角形。正好相悖，咱们的题目是这样的三角形是否存在。三角形内角和定理并没有直接答复这个题目，但它能够协助咱们构造所需的三角形。为了满意三角形内角和定理，三角形的每个角都需求小于°。这象征着咱们老是能够将个中的两个角安插在一条线段的统一侧。譬如，咱们能够把41°的角和76°的角放在线段AB的两头。从点A和点B动身的两条射线肯定不会平行。由于欧几里得好多请求同旁内角互补——也便是和为°——的两条直线平行。A点和B点处的角生气足这样的请求，因而这两条射线不会平行，而是会缔交。咱们把这两条射线的交点记做点C，在C点咱们又获患有一个角。如今咱们能够运用三角形内角和定理了。第三个角肯定是°-（41°+76°）=63°，因而△ABC便是咱们希望中的模样。上边这段论证能够被推行，进而解释搪塞三个和为°的角能够构成一个三角形。很显然，倘若以角度制（而不是弧度制）权衡，咱们能够很轻易地找到三个角都是有理数的三角形。先取舍两个和小于的有理数x和y，那末z=-(x+y)也是有理数。而由于x+y+z=，这三个有理数角就能够构成一个三角形。只管用有理角构造平面三角形这样简朴，三维中相同的题目却繁杂到寰宇上最佳的一群数学家们花了几十年功夫才束缚。为甚么只增添了一个维度，这类题目就变得这样繁难？想要知道这一点，就要更深入地舆解三角形内角和定理。在三维空间，这个题目触及到四周体——它有四个三角形的侧面。你能够把四周体看做三维版的三角形。在二维空间中，三角形是最简朴的具备挺直界线的关闭图形，只要三条线段就能够围成。在三维中，四周体是最简朴的由挺直界线围成的关闭图形，它能够用四个三角形平面构造出来。四周体的四个三角形侧面就像三角形的三条边相同。但角理当怎样对应呢？你能够设想在四周体的四个顶点处各有一个平面角，但在这个题目中咱们更关切面与面缔交产生的二面角。倘若你画出两个缔交的平面，就会发觉有很多角度能够权衡，究竟理当取舍哪个角来代表这两个面的夹角呢？谜底是扭转这两个缔交平面，直到它们看起来就像一个二维的角相同。这便是咱们所谓的二面角。在四周体中，四个面两两缔交，全豹产生了六条边和六个二面角。几十年来，数学家们向来想要搞懂究竟甚么样的四周领悟有六个有理的二面角。正如上文提到的，倘若一个角的度数是有理数，那末这便是一个有理角。这同即是在弧度制下，角的巨细是一个有理数乘上π.（从角度调动为弧度，需求将角的巨细乘上π/°，因而倘若一个角在角度制下是有理的，那末在弧度制下肯定是一个有理数乘π，反之亦然。）咱们曾经看到了用有理角构造平面三角形是何等简朴。但关于四周体，这个题目要繁杂很多。思虑这个从正方体的一个角切下来的简朴的四周体。咱们当场能够看出这个四周体有三个二面角是由原本正方体的面构成的，因而它们是直角。用棱来指代二面角格外便利。在这个四周体中，棱OA、OB、OC上的二面角都是直角。倘若切割正方体的角度适宜，使得OA=OB=OC，那末以AB、AC、BC为棱的二面角巨细理当相等。咱们能够切割正方体使OA=OB=OC=1，接下来就能够揣度以BC为棱的二面角巨细了。权衡二面角巨细的关键是做出从BC中点M到O点和A点的线段。倘若咱们扭转四周体，从侧面检察以BC为棱的二面角，这个角会被投影成平面上的∠AMO，∠AMO的巨细与原二面角相等。权衡∠AMO的巨细需求相识线段OA和OM的长度。咱们曾经相识OA=1，接下来为了相识OM的长度，咱们只要进一步考查三角形ΔOCB。由于∠BOC是直角，因此咱们能够用勾股定理取得BC=√2，由于M是BC中点，因此MC=√2/2。而ΔOCB不但仅是直角三角形，由于OB=OC，它照样等腰三角形。这象征着这是一个45—45—90度的三角形，∠OBC和∠OCB都是45°。ΔOCB是等腰三角形保证了OM笔直于BC，因而ΔOMC也是一个直角三角形。但倘若∠OMC=90°而∠OCB=45°，三角形内角和定理通告咱们∠MOC=45°，也便是说小三角形ΔOMC也等腰，因而OM=MC=√2/2。如今咱们终归筹备好揣度∠AMO的巨细了。tan∠AMO=1/(√2/2)=2/√2=√2在ΔAMO中，咱们相识AO=1，OM=√2/2。其余，由于∠AOM是直角，咱们能够哄骗三角函数。在直角三角形中，一个角的正切值是它的对边长度与邻边（直角边）长度之比：tan∠AMO=1/(√2/2)=2/√2=√2.因而∠AMO的巨细是√2的横竖切，也便是arctan√2，这是一个畸形数，因此这个四周体有三个二面角是畸形数巨细，它不是咱们寻觅的有理四周体。但是，只管它不是咱们的指标，这个畸形四周体能够通告咱们一些在寻觅有理四周体时的严重消息。要相识这一点，咱们来形似揣度一下上头畸形四周体的二面角的和。经过揣度器或许三角函数表，咱们发觉∠AMO约莫是54.74°。如今咱们能够将四周体OABC的六个二面角乞降了：三个直角都是90°，别的三个角都即是咱们刚刚揣度的角，因而，这个四周体六个二面角的总和约莫是3×90°+3×54.74°≈.22°。这便是不相同的地点。让咱们回到正方体中，不再遵循OA=OB=OC的方法切割它，而是在角上切下很薄的一片。这个新的四周体依旧有三个90°的二面角，别离以OP、OC、OB为棱。但其余三个二面角的值产生了变动。以BC为棱的角看起来很小，而以PB、PC为棱的角看起来与OB、OC处的角差别不大。底细上，倘若不断地把四周体越切越薄，点P将会特别凑近点O，以BC为棱的二面角将热诚0°，而以PB和PC为棱的二面角都将趋势于90°，因此这些角的和形似为：90°+90°+90°+90°+90°+0°=°.跟着点P凑近点O，四周体的六个二面角之和将会趋近于°.这象征着二面角之和会产生变动！在首先的四周体OABC中，六个二面角之和约莫是°，但当咱们改动这些角，它们的和也会产生变动。或许在某些层面上，四周体能够被视为三维版的平面三角形，但有一点它们有很大的不同：并不存在一个“四周体二面角和定理”来保证这些角的和是一个常数。这解释咱们只可做到保证四周体的二面角和在°到°之间。倘若你在寻觅有理二面角构成的四周体，这将是个题目。你不能随便取舍五个有理角，尔后就笃定说第六个角就果然也是有理的。由于不同于三角形，你并不相识这些二面角的和是几多。更糟了的是，你以至不相识搪塞巨细的六个二面角是否能构成一个四周体。思虑五个直角和一个锐角，它们的和在°到°之间，确切在四周体许可的范畴以内。然则并不存在由这样六个角构成的四周体。倘若六个角中的五个都是直角，那末幸免有一个面有三个90°二面角。然则这类情况下，这些面并不能紧闭构成四周体：就像平行线相同，它们永不缔交。三个直角二面角同享的一个面可所以三棱柱的一部份，但不会是四周体的一部份。因而，找到全豹或许的有理四周体的题目远比找到有肯定总和的五个或六个有理数繁杂。除此除外，束缚这个题目还需求解一个包罗项的方程，这个方程来自于约翰·康威和安东尼娅·琼斯年的一篇论文。一些数学家在年完结了这项劳动，效果是对全豹有理四周体实行了完全的分类。三角形内角和定理可是观赏三角形优美和斑斓的浩大原由之一。关于四周体，缺乏这样一个定理正好显示了提高一个维度带来的斑斓与繁杂。
题目
1.正方体二面角之和是几多？
谜底
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正方体有12条棱，因而有12个二面角，每个角都是九十度，因而和为12×90°=°.
2.正四周体六个二面角之和约莫是几多？
谜底
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全豹的六个二面角都相等，因而能够做一个适宜的直角三角形来揣度个中一个二面角的巨细。
正四周体的每个面都是等边三角形，因此侧面的中线——从顶点到对边中点的线段——的高度都是√3/2s，个中1/3×√3/2s是棱长，这是咱们所需的直角三角形的斜边。底面的核心被称做形心，它在底面三角形的中线上，距三角形底边中点1/3。从四周体顶部的顶点究竟面核心的高度为s，这是所求直角三角形的一条直角边。因而正四周体两个侧面所夹二面角的余弦值是(1/3×√3/2s)/(√3/2s)=1/3.由于arccos≈70.53°，因此正四周体的六个（相等的）二面角之和约莫便是6×70.53°≈.18°.
3.设想一个放在桌面上的正四周体，当你把最上头的顶点向下按，在四周体慢慢被压扁的流程中，六个二面角的和怎样变动？
谜底
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在四周体被压扁的流程中，与底面连合的三个二面竞赛突变为0°，别的三个二面角都趋近于°，因而和为3×0+3×°=°。这是四周体二面角和的上限。为了抵达二面角和的最小值，能够将两条对边推向对方，四个二面角将变为0°，别的两个将变为°。
4.搪塞四个和为°的角是否构成一个四边形？
谜底
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能够。设这四个角巨细别离是a、b、c、d，有a+b+c+d=°。假如a和b都小于或即是c和d。将c分为c?和c?，将d分为d?和d?，也便是c=c?+c?，d=d?+d?，使得a+c?+d?=°，b+c?+d?=°（咱们有充满的自原故用很多方法实行这一点）。用这两组角来构造两个三角形，调动巨细以使a与b的对边长度相等。尔后将它们拼在一同，c?和c?构成c，d?和d?构成d，这样就获患有以a、b、c、d为角的四边形。
一个意思的题目是，是否老是能够用一组递次特定的角来构造四边形。
做家：SamuelVelasco
翻译：藏痴
审校：Dannis
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