1.基本问题说明
立体几何中，有些题中已知几何体的外接球和/或内切球（包括变式：球内几个点围成的几何体），而且涉及的球可能不止一个，这些球之间或者相互外切、或者相互内切、或者组成某种结构与形状（如对称），然后求解或计算其有关的几何量。
这就是立体几何中常见的基本问题之一，几何体的外接球与内切球的计算问题。
2.解决基本问题的一般方法
1)抓住“接”和“切”的关键特征
a)外接球
外接球关键特征为外“接”。因此，各“接”点到球心距离相等且等于半径，解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。
b)内切球
内切球关键特征为内“切”。因此，各“切”点到球心距离相等且等于半径，且与球心的连线垂直切面，解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。
2)抓住“中心位置”的特性
在这类题中，组合体的中心常常因组合体的某些性质（如对称性）而位于一些特殊位置（如圆心、中心重合），因而很多时候确定中心位置对解题具有非常重要的作用。一般方法为：
a)确定中心位置,一般为解题的关键第一步
当为外接球、或只有一个内切球时，组合体的中心就是球心；当内切球不止一个，且两两相切时，可根据对称性、外接球的内接面的中心垂线等特性来确定中心位置。
b)构建几何图形，一般为解题的关键第二步（然后只需计算基本量并代入公式求解了）
基于中心位置和球心（不与中心重合时），并结合外接点或内切点，构建可方便地用来辅助计算的几何图形——最终目标多为直角三角形。这是求解这类问题的要领与技巧。
举例——正四面体的外接球和内切球
此时可直接利用相关几何性质求解（如图），可得到内切球和外接球的半径分别为h/4和3h/4，其中h=AO1。
提示1：可记住该中间结论“正四面体外接球与内切球半径之比为3:1”——有助于提高求解选填题的速度。
提示2：可类比记忆和推导上述中间结论。正三角形的中心（外接圆与内切圆的圆心）把正三角形分成三等份，由此可知每一等份的面积为整个三角形面积的1/3，也即二者的高之比为1/3，所以正三角形的外接圆与内切圆的半径之比为2:1。由此，平面正三角形类比到立体的正四面体（即维度+1，类比的结论也+1），正四面体的中心（外接球与内切球的圆心）把正四面体分成4等份，由此可知每一等份的体积为整个正四面体体积的1/4，也二者的高之比为1/4，所以正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1。
3)割补法（实用技巧）
当处理某些特殊几何体的外接球时，如果中心或圆心不方便定位，可考虑将其补全为正方体或长方体，这样球的中心就与正方体或长方体中心重合了（这是本质所在），使待求解问题有关的辅助图形构造、计算和理解都会因此变得便捷得多。如正四面体（第一图）、正八面体（第二图）、对棱相等的四面体（第三图，正四面体为其特例）、各棱于顶点处相互垂直的四面体（棱长相等或不等均可——其顶点即为长方体或正方体的一个顶点，图略）等。部分示意图如下：
4)确定球心的一种通用方法——球的“垂径定理”（类比于圆的垂径定理而命名）
a)球的“垂径定理”
球心与任一截面圆心的连线垂直于截面；反之，任一截面通过圆心的垂线穿过球心。
b)确定球心的一种通用方法
根据以上性质，首先找几何体的一个内接面的外接圆的圆心，通过圆心且垂直于该平面的直线一定穿过球心，同理，可找到一条垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线；则两直线交点即为球心。例如：
底面ＢＣＤＥ外接圆的圆心为对角线的交点，过O1作垂线，球心在其垂线上；平面ＡＢＣ外接圆的圆心为其外心，由于是正三角形，也是重心O２，过圆心的垂线穿过球心；故球心在两条垂线的交点上。
3.典型例题
例1（1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为______．
（2）一个四面体的所有棱长都是√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______．
讲解：
无论是理解和抓住几何体外接球与内切球的关键要素——中心、对称性等，还是具体的解答过程，说到根上都离不开对有关几何体或几何图形的特征、性质等基础知识的透彻理解和灵活运用。
例2在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=2√3，则此正三棱锥的外接球的表面积为___。
解：正三棱锥S—ABC中，由SC⊥侧面SAB，可知：
（提示：理解“正”字意味着哪些性质是关键。）
解：如图。此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以
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故选A．
讲解：
一般思路：设正八面体的边长，利用表面积，求出边长；然后利用割补法求球的直径，最后即可求得体积。本题对学生的空间想象能力、逻辑思维能力、以及正八面体特征与性质及其与正方体之间的(位置)关系等基础知识的要求较高，需要具备扎实的基础。因此本题具有一定难度，属中档题目。．例4已知一三棱锥对棱相等,棱长分别为2,3,4，求该三棱锥外接球体积。
解：如图。构造一个长方体ABCD-ABCD，使AC=2，AB=3，AD=4；
则三棱锥ABCD正好满足对棱相等,棱长分别为2,3,4，而该三棱锥的外接球即为长方体的外接球；
由勾股定理可得：
AB+AD=AB+BC=AC=4,
AB+AA=AB=9,
AD+AA=AD=16,
三式相加除以2,可得：AB+AD+AA=29/2；
讲解：
提示：前3个例题都将待求几何体看成正方体的一部分，然后通过正方体来便捷地求解。这是一个常用方法与技巧——割补法，体现了数学的转化与整体思想。
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