原题
原题：已知正四面体P-ABC中，D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，若PE≠PF，且DE=DF=√7，EF=2，则四面体P-DEF的体积为？
图一图二题中要求的是四面体P-DEF的体积，但是D，E，F这三点既不是正四面体边上的中点，它们所围成的四面体P-DEF有也不是规则的四面体，且明确的说明PE≠PF，那该如何求该四面体P-DEF的体积呢？
这道题中除了给出三角形DEF的三边外，就是正四面体P-ABC，所以还是要从给出的已知出发，进一步的得出PE，PF，PD的值。
得出PE，PF，PD的关系或者值
为了简化计算，我们可以分别设PE，PF，PD的值为x，y，z。
为了建立它们三者之间的关系，尤其是在三角形中建立边之间的关系，一般均使用余弦定理。
因为四面体P-ABC是正四面体，所以∠EPF=∠DPE=∠DPF=60度。
在三角形PEF中，根据余弦定理有EF^2=x^2+y^2－2xycos60度，又因为EF=2，所以整理得到x^2+y^2－xy=4①；
在三角形DPE中，根据余弦定理有DE^2=x^2+z^2－2xzcos60度，又因为DE=√7，所以整理得到x^2+z^2－xz=7②；
在三角形DPF中，根据余弦定理有DF^2=z^2+y^2－2zycos60度，又因为DF=√7，所以整理得到y^2+z^2－yz=7③。
图三这样就得到了PE，PF，PD三者之间的关系式①②③式，而①②③式就构成了三元二次方程组，那如何解这三元二次方程组就成了关键。
解该三元二次方程
对于这样的式子我们不能盲目的去解决，要仔细的观察，找到解方程的入手点。
观察发现②③式子是相同的，不同的是一个是x，一个是y，所以我们可以将x和y看成是方程t^2－zt+z^2－7=0的两个解，而z看成是一个常数，所以该方程就是变成了二元一次方程。
根据二元一次方程的特点有x+y=z，xy=z^2－7，再将x+y=z，xy=z^2－7代入①式子中就可以得到只关于z的方程，即z^2－3(z^2－7)=4，解得到z=√17/√2，将z=√17/√2代入xy=z^2－7中，解得到xy=3/2。
图四接下俩我们无需将x和y的值求出来，因为xy的乘积在乘以角EPF的正弦就是三角形EPF的面积，再求出D点到该面的距离即可根据三棱锥的体积求出P-DEF的体积。
求出D点到面EPF的距离
要想求出点D到面EPF的距离，就要得出PD与面EPF的夹角，而它们的夹角实际就是PA与面PBC的夹角。
图五取BC的中点M，连接AM，PM。
因为四面体P-ABC是正四面体，设该正四面体的边为a，则有PM=AM=√3a/2，PA=a。
在三角形APM中，根据余弦定理有AM^2=PA^2+PM^2－2PA·PMcos∠APM，而∠APM就是PA和面PBC的夹角，也是PD与面PEF的夹角。
解得到cos∠APM=1/√3，根据(cos∠APM)^2+(sin∠APM)^2=1得到sin∠APM=√6/3。
所以点D到面EPF的距离就为PDsin∠APM=√17/√2×√6/3=√17/√3。
求出四面体P-DEF的体积
因为四面体D-EPF的体积和四面体P-DEF的体积相等，所以只要求出四面体D-EPF的体积即可。
根据四面体的体积公式有V=1/3×h×S底，所以得到四面体D-EPF的体积为V=1/3×PDsin∠APM×S△EPF=1/3×√17/√3×1/2×3/2×sin60度=√17/8。
所以的就到了四面体P-DEF的体积为√17/8。
图六总结
解这道题时，主要是从已知出发，根据已知再构建出更多的已知，但是不要盲目的去求解，浪费没必要的时间。
这道题主要考察了我们观察的能力，不善于观察，很难快速的解出三元二次方程z的值。
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