在前面的头条号里，林根老师曾写了一篇“北京市海淀区-年上学期期末数学压轴题分析”，其中有一道题：
28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是三角形ABC内一点，且
∠PAC+∠PCA=α/2．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．
(1)当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到，连接PP’，如图1所示．
由△ABP≌△ACP’可以证得△APP’是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为度，进而得到△CPP’是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为；
(2)如图2，当α=°时，请参考(1)中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；
(3)PA，PB，PC满足的等量关系为．
第(3)问的答案是：
按照标答中的思路，可以这么来做：
实际上，(2)中的探索，如果按照(1)的做法，继续旋转α，就可以达到目的了。但无论如何，这种做法，发现Rt△P’PC很重要。
实际上，就是两个三角形(△P’PC和△ABC)中，绕顶点A旋转的问题，如果用解析几何的证法，可参照头条号《林根数学》之“北京市西城区-年上学期期末数学压轴题分析”，这里不再重复。
如果高观点看初中数学，可以这样来解：
由于∠APC为定值，所以P点在定圆D上，不妨令此圆半径为1，则易见D(1，sinα),进一步可计算出A(0，sinα),B(-1+cosα,0),C(1-cosα,0),圆D的方程：(x-1)2+(y-sinα)2=1,
可以令P(cosθ+1，sinθ+sinα),则根据两点间距离公式可得
PB2-PC2=2(1+cosθ)(1-cosθ），PA2=sin2θ，
可见4PA2sin2(α/2)=PB2-PC2。即
由此拓展到一般的△ABC中，你能得到什么结论？还有一个问题是，本题的结论能拓展到三维空间吗？
作为中考压轴题来说，像这种探索性的题目一般只是要求给出结论，那么原则上是不限定方法的。另一方面，作为命题者之所以这么做，也可能会有一定想法，那就是可以提倡学生高观点看数学，如果是这样的话，同时也测试了学生知识的宽度和深度。倒不失为一种好的命题思路。
实际上，平面的四个点P、A、B、C可以看成四面体的退化情形，则由下面的这个体积定理：
建立x，y，z直角坐标系。设A、B、C点的坐标分别为(a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b3,c3),四面体O-ABC中,OA,OB,OC分别记为a,b,c,它们的对棱分别记为a’,b’,c’,
四面体的体积可以由向量的混合积表示
将这个式子平方后得到：
根据矢量数量积的坐标表达式及数量积的定义得
又根据余弦定理得
将上述的式子带入（1），就得到了传说中的欧拉四面体公式
将其右边的行列式展开,则有
(12V)2=∑(aa’)2(b2+b’2+c2+c’2-a2-a’2)-∑(a’b’c’)2.①
不过，这个四面体的六棱求积公式，比三角形的海伦-秦九韶公式
(4△)2=-∑a4+2∑b2c2,②
形式上要差好多,不过这也是没办法的事情,有些二维的东西推广到三维之后变化太大,这也四面体研究之困难所在!
不过,(a,b,c)构成三角形的充要条件:
-∑a4+2∑b2c2≥0,③
推广到四面体(a,a’,b,b’,c,c’)倒是一致的,即六条边有构成四面体的充要条件是:
∑(aa’)2(b2+b’2+c2+c’2-a2-a’2)-∑(a’b’c’)2≥④
当然,前提条件是,各面上的三条边须构成三角形.
由此可速算高考辽宁卷的一道立几小题：
(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
解：(1)当a,a构成四面体同一顶点的两棱时(其它各棱均为2),根据六棱构成四面体的充要条件④，
可得a4-16a2+,解得
(2)当a,a构成四面体的对棱时(其它各棱均为2)，同理可解得
0a2√2.
综上，
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