已知函数，.
（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负.
文科数学如图（1），五边形中，
.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若四棱锥的体积为，求四面体的体积．
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理数答案：
（1）;
（2）见解析.
（１）先分离参数，再构造函数运用导数求函数的最值；（２）借助导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合思想进行分析求解：
（1）由，得，即在上恒成立.
设函数，.则.
设.则.易知当时，.
∴在上单调递增，且.即对恒成立.
∴在上单调递增，∴当时，.
∴，即的取值范围是.
（2），，∴.
设，则.由，得.
当时，；当时，.∴在上单调递增，在上单调递减.且，，.显然.
结合函数图像可知，若在上存在极值，则或.
（ⅰ）当，即时，
则必定，使得，且.
当变化时，，，的变化情况如下表：
极小值
极大值
∴当时，在上的极值为，且.
∵.
设，其中，.
∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号.
∵，∴.∴当时，在上的极值.
（ⅱ）当，即时，则必定，使得.
易知在上单调递增，在上单调递减.此时，在上的极大值是，且.
∴当时，在上极值为正数.综上所述：当时，在上存在极值.且极值都为正数.
注：也可由，得.令后再研究在上的极值问题.
点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先将函数解析式中的参数分离出来，再构造函数，运用导数知识求该函数的最值；解答本题的第二问时，充分借助题设条件，运用导数与函数的单调性之间的关系及分类整合思想进行分析求解，从而使得问题获解。
试题解析：
（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．
因为，所以．
因为平面，平面，
所以．又因为，
所以平面．
因为点是中点，所以，且．
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．
（Ⅱ）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，
因为平面，平面，所以，所以．
因为，由（Ⅰ）知，又因为，
所以，
所以
所以为正三角形，所以，
因为平面，平面，
所以．
又因为，所以平面．
故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示．
，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则所以取，则，
设与平面所成的角为，则，
因为，所以，所以与平面所成角的大小为．
考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成角的求解．
文数答案：
（1）详见解析；（2）.
试题分析：
（1）要证两平面垂直，就要证线面垂直，首先利用已知条件与平面垂直，为此取的中点，可证得四边形为平行四边形，所以，从而平面，也即
.于是由即及为的中点，可得为等边三角形，
，由，得，，可得平面平面平面.
（2）利用棱锥体积公式，三棱锥的底面的面积是四棱锥的底面面积的，高为其一半，由体积公式可得结论．
试题解析：
（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，则四边形为平行四边形，所以，
又平面，
∴平面，
∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，
又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.
（2）设四棱锥的高为，四边形的面积为，
则，
又，四面体底面上的高为．
∴，
所以四面体的体积为．
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编辑：方圆
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