需要掌握欧拉公式及其变式的应用
方法总结1.（欧拉公式）若一个多面体顶点数为V、面数为F、棱数为E，则有V+F﹣E=2.
2.（欧拉公式变式）若一个多面体的面数为a，其表面展开后得到的平面图形的顶点数为b，棱数为c，则有a+b-c=1.
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F﹣E=2；
（2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱
∴24+F﹣36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
一个多面体的面数（a）和这个多面体表面展开后得到的平面图形的顶点数（b），棱数（c）之间存在一定规律，如图1是正三棱柱的表面展开图，它原有5个面，展开后有10个顶点（重合的顶点只算一个），14条棱．
（1）请在图2中用实线画出立方体的一种表面展开图；
（2）请根据图2你所画的图和图3的四棱锥表面展开图填写下表：
多面体
面数a
展开图的顶点数b
展开图的棱数c
直三棱柱
5
10
14
四棱锥
8
12
立方体
（3）发现：多面体的面数（a）、表面展开图的顶点数（b）、棱数（c）之间存在的关系式是 ；
（4）已知一个多面体表面展开图有17条棱，且展开图的顶点数比原多面体的面数多2，则这个多面体的面数是多少？
（1）如图所示：
（2）如图表：
多面体
面数a
展开图的顶点数b
展开图的棱数c
直三棱柱
5
10
14
四棱锥
5
8
12
立方体
6
14
19
（3）由图表中数据可得出：a+b﹣c=1．
（4）（方程思想解题）设这个多面体的面数是a，则顶点数为（a+2）；
根据（3）得出的结论有：a+(a+2)-17=1,解得a=8
所以这个多面体的面数是八面体。
下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块．
图号
顶点数x
棱数y
面数z
（a）
8
12
6
（b）
（c）
（d）
（e）
（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；
（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．
（1）见下表：
图号
顶点数x
棱数y
面数z
（a）
8
12
6
（b）
6
9
5
（c）
8
12
6
（d）
8
13
7
（e）
10
15
7
（2）规律：x+z-y=2．
预览时标签不可点收录于话题#个上一篇下一篇