1、我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB，CD间的距离为3尺，CD，EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为（
）
B
解析解：如图，五面体EF-ABCD中，四边形ABEF，ABCD，EFCD均为等腰梯形，EF∥AB∥CD，△ADE，△BCF均为直角三角形，AD⊥DE，BC⊥CF，CD=10，AD==，DE=CF==5，∴S△CDF＝×10×7=×10×5sin∠DCF，解得sin∠DCF=，∴cos∠DCF=，DF==，∵AB∥CD，∴∠CDF是异面直线DF与AB所成的角，∵cos∠CDF===，∴cos∠CDF==，∴异面直线DF与AB所成的角的正弦值为．故选：B．
2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（
）
B
解析解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．所以体积V=π·（）3=
故选：B．
3、已知某几何体的三视图如图所示，分别为正方形、直角三角形、等腰三角形（单位：cm），则该几何体的体积是（
）
A
解析解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积S=2×2=4cm2，高h=2cm，故该几何体的体积V=Sh=cm3，故选：A．
4、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是（
）
A
解析解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×1×（1+1）=1，高h=，故体积V=Sh=，故选：A．
5、一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（
）
D
解析解：由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，其中底面ABCD为矩形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，由侧视图可知棱锥的高EM=，CD=2，∵正视图为等腰直角三角形，∴BC=EM=，∴棱锥的体积V=×2××=2．故选：D．
二、填空题（每小题7分，共35分）6、如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为
正确答案12+2
解析解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为2，底面正三角形的一边上的高为．∴底面正三角形的边长为2．该几何体的表面积S=2××22+3×2×2=12+2.
7、如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为
正确答案8
解析解：由三视图知：几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=×2×2×4=8．
8、如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为
正确答案解析解：由题意可知：三视图复原的几何体是三棱锥，因为一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形，所以几何体底面是等腰直角三角形，直接边长为2，一条侧棱垂直底面，并且棱锥的高为：2；所以几何体的体积为：S?h=×2×2=.
9、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为
正确答案解析解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为2，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，∴这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，∴这个几何体的外接球的半径R=PD=，则几何体的外接球的表面积为4πR2=.
10、已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积是
正确答案解析解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为2的正方形，斜高为2的四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×22×=.
三、解答题（每小题15分，共30分）11、几何证明选讲如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的长．
正确答案BC的长是2
解析解：∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PD?BD，
∵PB=PD+BD=1+8=9，∴PA2=1×9=9，可得PA=3，AE=PA=3，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠ABC=60°，可得△PAE是边长为3的等边三角形连接AD，在△ADE中，AE=3，DE=2，得AD==
又∵圆中△AED∽△BEC，
∴==，可得BC＝2AD＝2
12、几何证明选讲锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．
正确答案∠OEC=10°
解析解：连OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．∵OE⊥AB，∴E为的中点，∴和的度数均为80°．∴∠EOC=80°+80°=°．∴∠OEC=10°．
声明：本