文：空空儿
读科普类的文字，刚开始会觉得有点吃力，看的过程中稍稍琢磨一下，绍兴话叫“觅一觅”，看不懂的地方先跳过，等有看懂的地方，回头再觅一觅，慢慢会觉得有趣了。
高一数学必修第二册，第八章“立体几何初步”，章末处有复习参考题，其中第一题是一个探究问题。
我们可以先从特殊的三棱柱，四棱柱，三棱锥来研究。
比如三棱柱有6个顶点，9条棱，5个面，也就是V=6，E=9，F=5，所以V+F-E=2;
再如四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面，也就是V=8，E=12，F=6；
比如三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面，也就是V=4，E=6，F=4，所以V+F-E=2；
然后推广到n棱锥有n+1个顶点，2n条棱，n+1个面，也就是V=n+1，E=2n，F=n+1，所以V+F-E=（n+1)+（n+1）-2n=2
棱柱也可以用类似方法得到，而棱台的情况跟棱柱是一样的。
所以我们从具体到抽象，归纳猜想得到了一个结论：简单多面体的顶点数V，面数F,棱数E之间的关系是：V+F-E=2
而事实上这是一个定理，由著名的瑞士数学家欧拉提出，欧拉定理。
以下部分内容源自百度百科
多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：
“顶点数—棱长数+表面数=2”。
简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
对于n维空间中的简单多面体，其零维对象数（即顶点数）D0、一维对象数（即边数）D1、二维对象数（即面数）D2、三维对象数（即体数）D3、……、n维对象数Dn：
其中符号为正负号交替出现，等式一边是各维对象数的重复加减，等式另一边是1。
一般以V（Vertex）表示零维对象（即顶点）数D0，以E（Edge）表示一维对象（即边、棱）数D1，以F（Flatsurface）表示二维对象（即面）数D2，以S（Solid）表示三维对象（即体）数D3，以P表示四维对象数D4。
对于一般的三维空间，该公式表达为：
由于对于一个三维物体，其体数S总是1，则该公式可变形为：
证明多面体，设顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形
我们在求所有面的内角总和Σα
一方面，利用面求内角总和。
设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，
各面的内角总和为：
Σα=[(n1-2)·°+(n2-2)·°+…+(nF-2)·°]
=(n1+n2+…+nF-2F)·°
=(2E-2F)·°=(E-F)·°（1）
另一方面，利用顶点来求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·°，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·°，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·°。所以，多面体所有各面的内角和为：
Σα=(V-n)·°+(n-2)·°+(n-2)·°=（V-2）·°.（2）
由（1）（2）得
(E-F)·°=（V-2）·°
所以V+F-E=2.
意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；
（2）思想方法创新：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：
在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f(p)=2。
除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f(p)=16+16-32=0，
所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。
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