球的体积公式
简介
已知球的半径为R，则球体积公式为：V=4/3πR3。
历史
公元前3世纪
阿基米德利用穷竭法求得球体积的正确公式
公元1世纪
《九章算术》中认为球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比
公元1世纪
刘徽在《九章算术》为作注时发现球体积公式的错误
公元6世纪初
祖暅与其父亲祖冲之研究出“祖暅原理”，并利用原理巧妙的计算出球体积公式
证明
阿基米德
以2R为底面半径和高作圆锥，以R为半径作球，以图1为旋转体的旋转之前的截面，对所作旋转体（图2）进行分析。
图1
图2
在距离锥顶x处，锥被截出的圆面积为：πx2，而由勾股定理可得，球被截出的圆（图3）半径为：
√R2-(R-x)2=√2Rx-x2，即球被截出的圆面积为：π(2Rx-x2)。
图3
因此，球的截面积和圆锥的截面积之和为：π(2Rx-x2)+πx2=2πRx，而此面积之和恰好等于图4的三棱柱在距离顶棱x处的截面积。
图4
故有
V锥+V球=V棱柱
其中
V锥=1/3π(2R)3，V棱柱=4πR3
故球体积为：
V球=V棱柱-V锥=4/3πR3
祖暅原理
在祖暅求出球体积公式之前，刘徽早已对《九章算术》中的球体积公式指出错误，提出了“牟合方盖”的理论。以R为半径，高为2R的二圆柱垂直相交，截出立体的表面像是向上与向下2个“四棱瓜皮帽”（图5）合在一起的几何形状，这个形似正、倒2个“方盖”相合的立体被刘徽称为“合盖”。不难得到正方形与其内切圆面积之比为4:π，进而可得体积之比为4:π。
图5
祖暅沿用刘徽的思想，在计算球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。这是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列里原理。
祖暅利用立方体和“牟合方盖”的1/8（图6）来做研究。设在高为h处的一个平面截两个立体，截面如图所示，立方体截面的面积S1=r2，牟合方盖截面面积S2为一个正方形，通过勾股定理计算正方形的边长，在Rt?ABO中，OB=r，r为内接球半径，则
AB2=OB2-OA2=r2-h2
即S2=r2-h2，则图中左边阴影部分面积为：S1-S2=h2，此面积恰好等于图中右边正四棱锥的截面面积。由祖暅原理可得，
V立方体-1/8V牟=V锥
其中V锥=1/3r3，V立方体=r3，
则
V牟=8(V立方体-V锥)=16/3r3
再根据刘徽所得结论，V牟:V球=4:π，可得V球=4/3πr3。
图6
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