[题目](年，北京石景山高三期末，10)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF=1/2，给出以下三个论断：
①AC⊥BE；
②△AEF的面积与△BEF的面积相等；
③三棱锥A-BEF的体积为定值；
此中，全部准确论断的个数是（）。
A)0B)1C)2D)3
[谜底]C
[分化]对于选项①：接连BD。由于AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1=D，是以AC⊥面BDD1B1。BE在面BDD1B1内，是以AC⊥BE。因而，选项①准确。
对于选项②：由于
EF
=1/2，为定值，是以△AEF和△BEF的面积取决于点A和点B到直线B1D1的间隔。此中点A到直线B1D1的间隔为
而点B到直线B1D1的间隔为1。因而，它们的面积不相等。因而，选项②过错。
对于选项③：接连DE。能够将三棱柱ABD-A1B1D1分裂为：
四棱锥E-AA1D1D(左边)、四棱锥F-AA1B1B(右边)、三棱锥A-A1EF(上方)、三棱锥E-ABD(下方)和三棱锥A-BEF(未独自标出)。
此中，由于底面积和高固定，三棱锥A-A1EF和三棱锥E-ABD的体积为定值。
四棱锥E-AA1D1D和四棱锥F-AA1B1B的底面积相等且固定，它们究竟面的高别离为EG和FH。其平面图如图所示。
由于△EGD1和△FHB1都是等腰直角三角形，是以
即它们的高线之和为定值，进而四棱锥E-AA1D1D和四棱锥F-AA1B1B的体积为定值。
因而，三棱锥A-BEF的体积为定值。因而，选项③准确。
综上，选项①③准确，选项②过错。故选C。
[题目](年，北京石景山高三期末，15)数学中有很多形态漂亮的弧线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆顺着大圆的圆周转动，小圆的圆周就任一点产生的轨迹即为星形线．如图，已知r=1，开始场所时大圆与小圆的交点为A(A点为x轴正半轴上的点)，转动流程中A点产生的轨迹记为星形线C．犹以下论断：
①弧线C上恣意两点间间隔的最大值为8；
②弧线D：
x
+
y
=4的周长大于弧线C的周长；
③弧线C与圆x2+y2=4有且唯一4个众人点．
此中准确的序号为．
[谜底]①③
[分化]星形线得名于希腊文的星星，是有四个尖角的内摆线，属于超椭圆的一种。它的直角坐标方程为，
参数方程为，
实际生涯中，众人汽车的折叠门即是其典范运用：开门时一扇门折拢成为半扇，关门时又从新舒展成一扇。门轴在滑槽中的疏通轨迹即是星形线。
对于选项①：由于r=1，是以a=4r=4。因而，弧线C上恣意两点间间隔的最大值为8。因而，选项①准确。
对于选项②：星形线在半径为a的大圆内的周长为6a。本题中a=4，因而弧长为24；弧线D：
x
+
y
=4在第一象限的边长为4√2，周全并拢弧线的长度为16√2。进而有，
即弧线C的周长大于弧线D的周长。因而，选项②过错。
对于选项③：弧线C与圆x2+y2=4有且唯一4个众人点。因而，选项③准确。
综上，选项①③准确，选项②过错。故填入①③。
[附录]星形线周长的揣度。
设生成大圆的半径为a。由于星形线对于两个坐标轴对称，是以只要揣度第I象限的部份便可。
星形线的参数方程为，
别离对θ求导，得
因而，其在第I象限的弧长为，
进而，星形线的周长为，
即值为6a。