12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑M－ABC中MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.8(3－21/2)π
设MC的中点为O，如图，
由AB＝BC＝2，且△ABC为直角三角形，得∠ABC＝π/2.由MA、AB、BC两两笔直，可知MC为Rt△MAC和Rt△MBC的斜边，故点O到点M、A、B、C的间隔相等，故点O为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径离别为R、r,则由MA2＋AB2＋BC2＝(2R)2.得4＋4＋4＝4R2，解得R＝31/2.由等体积法，知[(S△ABC＋S△MAC＋S△MAB＋S△MBC)/3]·r＝S△ABC·MA/3.即(1/3)·(1/2)·)(2×2×2＋2×2·21/2×2)·r＝(1/3)·(1/2)·)2×2×2，解得r＝21/2－1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为4π(R2＋r2)＝4π(3＋3－2·21/2)＝8(3－21/2)π.
13．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝π/2，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC－A1B1C1外接球表面积的最小值为．
4π
1、若干体的外接球；2、根基不等式；3、球的体积和表面积.
设BC＝2m，则有BB1＝1/m，哄骗直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝π/2，进而直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的半径为R＝[(m2＋1/(4m2)]≥1，以是其比表面积的最小值为S＝4π.
依据直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝π/2，侧面BCC1B1的面积为2，设BC＝2m，BB1＝1/m，哄骗均值不等式，肯定直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的半径的最小值是关键．
14．已知边长为2·31/2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角ABDC的巨细为°的四周体，则四周体的外接球的表面积为________．
28π
15．在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面为正方形，QA//PC，∠PBC＝∠AQB＝π/3，记四棱锥P－ABCD的外接球与三棱锥B－ACQ的外接球的表面积离别为S1，S2，则S2/S1＝___．15/7
点睛：球的半径的祈望，关键在球心场所确实定，三棱锥B－ACQ中△QAC，△QBC均为直角三角形，是以外接球的球心即是QC的中点，由于它到四个顶点的间隔是相等的．同理四棱锥P－ABCD外接球的球心即是AP的中点．
16．三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB＝E，且DE⊥AB，若∠EDC＝2π/3，PA＝3/2，PB＝3·31/2/3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为__________．
13π
三棱锥P－ABC中，P－ABC是边长为3的等边三角形，设△ABC的贰心为O1，外接圆的半径O1A＝3/(2sinπ/3)＝31/2，在△PAB中，PA＝3/2，PB＝3·31/2/3，AB＝3，餍足PA2＋PB2＝AB2，△PAB为直角三角形，△PAB的外接圆的圆心为D，由于CD⊥AB，DE⊥AB，∠EDC＝2π/3为二面角P－AB－C的平面角，离别过两个三角形的贰心O1，D做两个半平面的垂线交于点O，则O为三棱锥P－ABC的外接球的球心，在Rt△OO1D中，∠ODO1＝π/6，DO1＝31/2/2，则cosπ/6＝O1D/OD＝31/2/(2OD)，OD＝1，联接OA，设OA＝R，则R2＝AD2＋OD2＝(3/2)2＋12＝13/4，S球＝4πR2＝4π×13/4＝13π.
数学霸总