山东省枣庄市年中考数学真题
欧拉（Euler，年~年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：．
（1）①：9；②：6；③：12；④：12；
（2）V+F-E=2
（1）观察图形可知：
①三棱柱的上下各有3条棱，侧面有3条棱，共有9条棱；
②正方体上下有2个面，侧面有4个，共6个面；
③正八面体上下有2个顶点，侧面有4个顶点，共6个顶点；
④正八面体上下各有4条棱，中间4条棱，共12条棱
（2）表格数据整理如下所示：
根据表格的数据，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式V+F-E=2．
问题一：欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中提出“欧拉线定理”：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，这条直线就叫该三角形的欧拉线．你可以证明三角形的欧拉线吗？
证明思路如下：
（1）明确任意三角形的外心、重心、垂心
●外心是三角形三条边的垂直平分线的相交点，也是三角形外接圆的圆心
●重心是三角形的三条中线的交点
●垂心是三角形的三条高的交点
（2）先根据两点确定一条直线，再证明另外一点也在该直线上
●由外心与垂心确定一条直线
●利用重心分中线为2:1两部分性质求证，即证明三角形中线过外心与垂心所在直线被截成2:1两部分即可
证明过程如下：
已知：如图所示，在△ABC中，点O，G，H分别是△ABC的外心、重心、垂心．
求证：点O，G，H三点共线．
证明：
如下图所示，点O是外心，以O为圆心，作△ABC的外接圆，连接OB，并延长BO交外接圆于点D；连接AD，CD，AH，CH，OH，OM；作中线AM，交BD于G点．
∵BD是直径，∴∠BAD，∠BCD是直角（圆周角定理），即AD⊥AB，DC⊥BC
又∵点H是△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC（垂心的定义）
∴DA∥CH，DC∥AH（垂直于同一直线的两直线平行）
∴四边形ADCH是平行四边形（平行四边形的定义）
∴AH＝DC（平行四边形的性质）
∵点M是BC的中点，点O是BD的中点
∴OM＝
DC（三角形中位线定理）
∴OM＝
AH（等量代换）
∴OM⊥BC（垂径定理逆定理，平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴OM∥AH（垂直于同一直线的两直线平行）
∴△OMG∽△HAG（相似三角形的判定，平行相似）
∴AG=2GM（相似三角形的性质）
∴点G是△ABC的重心，∴G，O，H三点共线；
问题二：关于问题一中三角形的欧拉线，你可以求出OH与OG的比例关系吗？
证明过程如下：
∵△OMG∽△HAG，AG=2GM（问题一中已证）
∴HG=2OG（相似三角形的性质）
∴OH＝HG+OG=3OG