将两个凸多面体揉合在一起，使得这两个多面体的棱相交且互相平分，则我们说这两个多面体可以穿插，这样得到的新多面体，我们称之为这两个多面体的穿插体简称为穿插体。如果这两个多面体所有相交的棱还是垂直的，则我们说这两个多面体可以恰好穿插，那么得到的新多面体为这两个多面体的恰好穿插体简称为恰好穿插体。
给出了穿插体的定义，那么它存在吗？我们已知分别连接正六面体的两组面对角线分别得到两个正四面体。那么这两个四面体所处的状态就是恰好穿插状态。如下图所示：
连接一般菱形6面体的两组面对角线，得到两个正三棱锥，它们恰好穿插。如下图所示：
连接菱形十二面体的短对角线得到正六面体，连接其长对角线得到正八面体。而且这两个多面体的棱还是互相垂直平分的。因此这两个多面体可以恰好穿插。得到的恰好穿插体。如下图所示：
连接菱形三十面体的短对角线得到正十二面体，连接其长对角线得到二十面体。而且这两个多面体的棱还是互相垂直平分的。因此这两个多面体可以恰好穿插。得到的恰好穿插体。如下图所示：
事实上构成穿插体的两个多面体是相互对偶的。
设多面体A、B可以穿插，则容易知道它们有以下性质：
（1）A的顶点数等于B的面数，B的顶点数等于A的面数。
（2）A的棱数等于B的棱数。
（3）A的每个顶点周围的其它顶点共面，B的每个顶点周围的其它顶点也共面。
A被B唯一确定，B也被A唯一确定。
已知凸多边形A1A2A3…An，以A1、A2、A3、…An为边中点的凸n边形B1B2B3…Bn称为凸n边形A1A2A3…An所对应的中点凸n边形。对于一多面体而言，若某一顶点周围的其它顶点共面（这个面称为这个顶点对应的平面），则以从这一顶点出发的所有棱的中点为顶点的凸多边形对应的中点凸多边形称为该顶点对应的中点凸多边形。
定理：一凸多面体存在能与之穿插的多面体充要条件是该多面体每个顶点周围的其它顶点共面，相邻两顶点分别对应的中点多边形的一组对应边相等，且平行于两对应平面的交线。
证明：一凸多面体存在能与之穿插的多面体，则必有该多面体每个顶点周围的其它定点共面，相邻两顶点分别对应的中点多边形的一组对应边相等。且平行于两对应平面的交线。这些都是性质很容易得到。反之，通过几何作图可作出与之穿插的多面体。
下面我们讨论正n棱柱是否存在能与之穿插的多面体：先看正三棱柱如下图所示：考虑A、B两点它们对应的平面分别为平面A1BC、平面ACB1。两平面的交线为CD。顶点A对应的中点三角形为△EFG则有EF//CD，而HI//A1C、EF//HI，所以CD//A1C，如图CD与A1C相交，矛盾。因此正三棱柱没有能与之穿插的多面体。
正n（n≥4）棱柱如下图所示：考虑A2、A3两点，它们对应的平面分别为平面A1A3B2、平面A2A4B3，两平面的交线为OK顶点A2对应的中点三角形为△EFG，则EF//OK，而HI//EF、HI//A1B2,所以OK//A1B2，K为A3B2的中点则O为A1A3的中点。同理K也是A2A4的中点。易知该n棱柱只能是四棱柱。后面将会讨论能与平行六面体穿插的多面体的存在性，而正四棱柱是平行六面体的一种。
四面体与四面体的穿插是穿插体中最简单的情形，我们在高中立体几何学中学过平行六面体，易知分别连接平行六面体的两组面对角线可得到两个一样的四面体，而这两个四面体恰处于穿插的状态。因此四面体与四面体的穿插体是存在的。下面我们要证明：任一四面体与自身可以穿插。为证明此命题，我们只要说明以任一四面体为基础都可以作出一个平行六面体，从而完成证明。
下面给出以任一四面体为基础作出一个平行六面体的作法：如图已知四面体ABCD
（1）作平行四边形BDCE，平行四边形BCDG，平行四边形DBCF
（2）连接AE、AF、AG，取AE、AF、AG的中点分别为B1，D1，C1。
（3）取BC、CD、BD的中点分别为K、M、N，连接B1K、D1M、C1N，相交于A1。
则A、B、C、D、A1、B1、C1、D1，为顶点的多面体就是平行六面体。
由以上命题可得：一四面体与自身可恰好穿插当且仅当该四面体的对棱互相垂直。
平行六面体与平行八面体的穿插体
平行六面体：每个面都是平行四边形的六面体，相对的面平行且全等。若平行六面体的每个面都是矩形，则我们称该平六面体为直平行六面体或长方体。
平行八面体：类似正八面体，每个面都是三角形的八面体，每个顶点周围有四个面，相对的面平行且全等。我们称平行八面体相对顶点的连线为其体对角线。显然平行八面体有三条体对角线，若这三条体对角线两两垂直，则我们称该平行八面体为直平行八面体。
平行十二面体：每个面都是平行四边形的凸十二面体。
命题1：每一个平行六面体都存在一个平行八面体与之穿插。
命题2：一平行六面体有平行八面体与之恰好穿插当且仅当它是直平行六面体。此时平行八面体为直平行八面体。
如下图（直平行六面体与直平行六面体的恰好穿插体）：
由上可知一个平行六面体都存在一个平行八面体与之穿插。那么是否任一个平行八面体都存在一个平行六面体与之穿插呢？答案是肯定的。我们可以以任一平行八面体为基础作平行十二面体来说明。也可以根据定理来判断。这里就不再仔细讨论了。如果您感兴趣的话不妨做一做。