原题
原题：如图，矩形ABCD中，AB=2√3，AD=2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD。沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D-MNQ，则三棱锥D-MNQ体积的最大值为多少？当三棱锥D-MNQ体积最大时，其外接球的表面积为多少？
图一要想求出三棱锥D-MNQ体积的最大值，所以就要知道什么时候三棱锥D-MNQ体积的最大，即当面DMN垂直面MNQ的时候，该体积最大。
将三棱锥D-MNQ体积表示出来
不妨设BM=x，矩形ABCD中，AB=2√3，所以AB=CD，又因为MN∥AD，所以BM=CN=x，所以DN=2√3－x。
因为变形ABCD是矩形，所以CD垂直BC，又因为MN∥AD，所以CD垂直MN，又因为当面DMN垂直面MNQ的时候，该体积最大，所以该四面体D-MNQ的高为DN。
S△MNQ的面积为1/2·MN·BM=1/2·2·x=x。
所以根据三棱锥的体积有三棱锥D-MNQ体积V=1/3×S△MNQ×DN=1/3·x·(2√3－x)，x∈(0,2√3)。
变形得到V=1/3×S△MNQ×DN=1/3·x·(2√3－x)=1/3(－x^2+2√3x)=－1/3(x－√3)^2+1，x∈(0,2√3)，所以当x=√3时，三棱锥D-MNQ体积的最大，即为1。
所以要想三棱锥D-MNQ体积最大，DN不仅要垂直底面MNQ，N还要是CD的中点。而第二问就是在此时的三棱锥的状态，求此时三棱锥的外接球表面积。
所以第二问的关键是如何找到外接球的半径。
找到外接球的半径
此时的三棱锥，M，N是AB、CD的中点，所以MB=CN=√3，CQ=BQ=1，根据勾股定理有NQ=MQ=2，所以NQ=MQ=MN，所以三角形MNQ是等边三角形。
所以该三棱锥的图形如下：
图二如图，像这样的三棱锥，即四面体并没有一条边的所对应的两个角均为直角，怎么找到该四面体的外接球半径呢？
其实这里还隐藏着一个已知：DN是外接球上弦，该四面体的外接球的球心到该弦的距离是该弦的垂直平分线，该距离也和底面积MNQ的外接圆的半径是平行的。因为DN垂直底面积MNQ，所以DN也垂直底面积MNQ的外接圆的半径。
做出底面积MNQ的外接圆的圆心O1和半径r以及四面体D-MNQ的外接球的球心O2和半径R。
图三如图三，O1是三角形MNQ的外接圆圆心，O2是四面体D-MNQ的外接球球心，O2D和O2N就是外接球的半径，而O1N是三角形MNQ的外接圆的半径，O2P是球心到弦DN的距离，所以有O2P=O1N=r，O2D=O2N=R。
因为三角形MNQ是等边三角形，所以r=2×√3/2×2/3=2√3/3。
在直角三角形O2DP中，根据勾股定理有R^2=(DN/2)^2+r^2。
整理得到R^2=(√3/2)^2+(2√3/3)^2=3/4+4/3=25/12，所以R=5√3/6。
根据外接球的表面积公式S=4πR^2=4π×25/12=25π/3。
总结
这道题要想找到三棱锥D-MNQ，即四面体D-MNQ的外接球半径，只要出现的四面体的高为恰好在顶点的时候，该四面体的高就是该四面体外接球上的弦，根据弦就可以找到并求出该四面体的外接球的半径。
DEF分别是正四面体棱上的点且PE≠PF求四面体P-DEF体积？关键在这
高中：知道这些知识点，瞬间能找到三棱锥的高和外接球半径！
给出边和角的关系求△ABC内切圆半径？根据内心特点求半径？太复杂
高中：已知三角形两边长和第三边上中线长求周长？这隐藏一个已知
高中：四面体体积最大时求外接球半径？关键找球心，它们什么关系