题型概述 填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.
方法一 直接法
它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
(1)(·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
(2)(·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点到轴的距离是________.
解析 (1)由题意知sin＝，且是第四象限角，
所以cos0，所以cos＝，
又tan＝tan＝
＝－＝－.
(2)设点的横坐标为0，易知准线＝－1，∵点到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x0＋1＝10，∴x0＝9，因此点到轴的距离为9.
答案 (1)－ (2)9
探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.
(1)(·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
(2)(·烟台质检)已知抛物线C1：2＝4的焦点为F，点P为抛物线上一点，且
PF
＝3，双曲线2：－＝1(0，b0)的渐近线恰好过点，则双曲线2的离心率为________.
解析 (1)在△中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(＋)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得＝＝.
(2)设点(0，y0)，由抛物线定义得0－(－1)＝3，
所以0＝2.
又因为＝40，得0＝±2，即(2，±2).
又因为双曲线2的渐近线过点，所以＝＝，
故e＝＝＝.
答案 (1) (2)
方法二 特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.
(·佛山调研)在△中，内角，B，C所对的边分别是，b，c，若c2＝(－)2＋6，C＝，则△的面积是________.
(2)如图，在三棱锥O－中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OBOC，分别经过三条棱，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则1，S2，S3的大小关系为________.
解析 (1)法一 当△为等边三角形时，满足题设条件，则＝，C＝且＝＝.
∴△ABC的面积△ABC＝absinC＝.
法二 ∵2＝(－)2＋6，
∴c2＝2＋2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝2＋2－2cos＝2＋2－.②
由①②得－＋6＝0，即＝6.
∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点，故可以将三条棱长分别取为＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故3S2S1.
答案 (1) (2)3S2S1
探究提高 1.第(1)题中的法一，将一般三角形看作特殊的等边三角形，减少了计算量，优化解题过程.
2.求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.
(1)若的展开式中含的项为第6项，设(1－3)n＝0＋1x＋2x2＋…＋nxn，则1＋2＋…＋n的值为________.
(2)(·石家庄调研)设坐标原点为，抛物线2＝2，过焦点的直线l交该抛物线于，B两点，则·＝________.
解析 (1)展开式的通项公式Tk＋1＝C·(2)n－k·＝C(－1)kx2n－3.
因为含的项为第6项，所以＝5，2n－3＝1，解得＝8.
令＝1，得0＋1＋…＋8＝(1－3)8＝28.
又因为0＝1，所以1＋2＋…＋8＝28－1＝.
(2)本题隐含条件是·的值为定值，所以·的值与直线的倾斜角无关，所以取直线：＝，
不妨令点在轴上方.
由可得A，B，于是·＝－1＝－.
答案 (1) (2)－
方法三 数形结合法(图解法)
一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.
(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
(2)(·武汉模拟改编)若函数y＝f(x)图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对.
解析 (1)作出函数f(x)＝的简图，方程f(x)＝k有两个不同的实根，也就是函数f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，所以0k1.
(2)作出f(x)＝的图象，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x0)和y＝－x2－4x(x0)的图象的交点个数(如图).
由图象知，函数f(x)有两对“和谐点对”.
答案 (1)(0，1) (2)2
探究提高 1.图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.
2.运用数形结合(图解法)的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.
(·潍坊一模)对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个不同实数x1，x2，使得xif(xi)＝1(i＝1，2)成立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)＝具有性质P，则实数a的取值范围为________.
解析 依题意，xf(x)＝1，即＝1在R上有两个不相等实根，
∴a＝xex在R上有两个不同的实根，令φ(x)＝xex，
则φ′(x)＝ex(x＋1)，
当x－1时，φ′(x)0，φ(x)在(－∞，－1)上是减函数；
当x－1时，φ′(x)0，φ(x)在(－1，＋∞)上是增函数.
因此φ(x)极小值为φ(－1)＝－.
在同一坐标系中作y＝φ(x)与y＝a的图象，
又当x0时，φ(x)＝xex0.
由图象知，当－a0时，两图象有两个交点.
故实数a的取值范围为.
答案
方法四 构造法
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.
(1)(·全国Ⅱ卷改编)设函数f′(x)是定义在(0，＋∞)上函数f(x)的导函数，f(1)＝0，如果满足xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________.
(2)(·合肥模拟)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.
解析 (1)令g(x)＝，则g′(x)＝，由于xf′(x)－f(x)0，得g′(x)0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
由f(1)＝0，知g(1)＝0，∴g(x)0的解集为(0，1)，
因此f(x)0的解集为(0，1).
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.
答案 (1)(0，1) (2)π
探究提高 1.第(1)题构造函数，利用函数的单调性解不等式；第(2)问将三棱锥补形成正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，使问题容易得到解决.
2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.
解析 由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是公比q＝2的等比数列，
因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
答案 an＝2n－1
从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加.我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确.
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论.
(3)要重视对所求结果的检验.
(4)注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的.
填空题的主要特征是题目小，跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.