原题
原题：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P，M分别为棱CD，CC1的中点，Q为面对角线A1B上任一点，则下列说法正确的是？
A.平面APM内存在直线与A1D1平行
B.平面APM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为9/8
C.直线AP和DQ所成角可能为60度
D.直线AP和DQ所成角可能为30度
图一图二这道题是一个多项选择题，每个选项都不是白给的，要想解决这道题我们需要知道面的拓展以及各种关系的转化，直接该题的本质。
下面就在讲解的每个选项的过程中俩说明面该如何拓展，各种条件该如何转化。
选项A
选项A是“平面APM内存在直线与A1D1平行”，这句话实际要问我们的就是直线A1D1与面APM平行吗？所以该题就转化成了求线面平行的题。
因为线面平行的条件是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线与平面平行。
因为直线A1D1在平面APM外，所以只要该面APM内存在直线与该直线A1D1平行，则该直线A1D1就与该面APM是平行的，所以该题主要考察的是线面平行。
为了验证直线A1D1是否与面APM平行，还需要将直线A1D1转化，即将直线A1D1是否与面APM平行转化成直线B1C1、BC、AD等与面APM是否平行或者共线，否则直线A1D1与平面APM不平行，这些直线B1C1、BC、AD等均与直线A1D1平行。
为了更加方便地证明这些直线和平面APM的关系，这里我们还需要将平面APM拓展，那如何拓展平面呢？
想要拓展一个平面，需要找到与该面共面的直线，连接该面和该直线的各点，则该面就拓展了。
要想找到该直线，一般要找到与该面内直线平行的直线，且与该面存在交点，因为只有两条直线平行了才能共线，又有交点所以共面。
图三连接AB1，B1M，C1D，则APMB1就是面APM的拓展面，因为P，M分别是CD和CC1的中点，所以PM∥C1D，因为AB1∥C1D，所有PM∥AB1，且直线AB1与面APM交于点A，所以直线AB1与面APM共面，所以面APMB1就是面APM的拓展面。
因为A1D1∥B1C1，且B1C1与面APMB1是相交直线，即直线B1C1与面APMB1内的直线均不平行，所以直线A1D1与面APMB1内的直线均不平行，所以选项A是错误的。
选项B
选项B是问“平面APM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为9/8”，这里的截面积其实就是上述拓展的截面积APMB1，但是这里需要求出该截面积的面积，要想求出该截面的面积就要知道该截面是一个什么样的形状。
其实该截面是一个等腰梯形。
因为PM∥AB1，则该四边形APMB1是梯形，且上底为PM，下底为AB1。
又因为AD=B1C1=正方形的边长，P，M是边CD和CC1的中点，所以DP=C1M=正方形边长的一半，且都在直角三角形中，所以△ADP≌△B1C1M，所以AP=C1M，所以四边形APMB1是等腰梯形。
图四在直角三角形PCM中，PC=CM=正方形边长一半=1/2，根据勾股定理有PM=√2/2.
在直角三角形ADP中，DP=AD/2=1/2，根据勾股定理有AP=√5/2=B1M。
在直角三角形ABB1中，AB=BB1=1.根据勾股定理有AB1=√2.
作ME⊥AB1交于E点，因为上底PM=√2/2，下底为AB1=√2，所以B1E=(AB1－PM)/2=√2/4.
在直角三角形B1ME中，根据勾股定理有ME=3√2/4.
根据等腰梯形的面积公式S=(上底+下底）×高÷2=（√2/2+√2）×3√2/4÷2=9/8.
所以选项B是正确的。
选项C和选项D
选项C和选项D问的都是直线AP和DQ所成角可能是多少？都只需要求出该定直线AP和动直线DQ所成角的范围就可以了。
这里涉及了动直线的问题，在之前我们就讲过如果出现动直线时一般都是将该动直线转化为定平面，详细可见顶点到对面点构成直线与已知面平行，求动直线长？直击该题本质！
因为Q点在A1B上移动，所以该动直线DQ的变化范围就是面A1DB，所以就将动直线转化成点平面A1DB。
又因为这里是求定直线AP和动直线DQ所成的角，两条直线夹角最大为90度，所以只需要求出这两条直线所成角的最小值即可，而该两条直线所成角的最小值就是直线AP与面A1DB所成的角，所以该题考察的是直线AP和面A1D所成的线面角的大小。
图五过点D做AP的平行线交于BA的延长线于N点，则直线AP与面A1DB所成角的大小转化为直线ND与面A1DB所成角的大小了。
设直线ND与面A1DB所成角的大小θ，只要求出点N到面A1DB的距离d，根据sinθ=d/ND即可求出sinθ的大小。
那怎么求点N到面A1DB的距离d呢？
这里我们可以根据等体积法，即V(N-A1DB)=V(A1-NDB)。
V(A1-NDB)=1/3×
AA1
×S△NDB=1/3×1×（1/2+1）×1×1/2=1/4。
V(N-A1DB)=1/3×d×S△A1DB=1/3×d×1/2×√2×√2×sinπ/3=√3d/6.
所以有√3d/6=1/4，所以d=√3/2.
所以有sinθ=d/ND=√3/2/√5/2=√15/5.
所以直线AP与动直线DQ所成角的正弦值的范围为[√15/5，1].
根据正弦图像（0~90度）变化是单调递增的，又因为sin60度=√3/2√15/5=sinθ，所以当直线AP与动直线DQ所成角为60度时，该夹角恰好在这两条直线夹角的范围内，所以直线AP和DQ所成的角可能为60度，所以选项C是正确的。
因为sin30度=1/2√15/5=sinθ，所以当直线AP与动直线DQ所成角为30度时，该夹角不在这两条直线夹角的范围内，所以直线AP和DQ所成的角不可能为30度，所以选项D是错误的。
总结
在立体几何中，有求直线与直线之间的关系，即直线的位置关系，直线之间的夹角等；有求直线与面之间的关系，即求直线与面平行，直线与面垂直，求线面角等；有求面与面之间的关系，即求面与面平行，面与面垂直，二面角的大小等。
无论如何变化，万变不离其中，都离不开这些基本的东西，所有选项中各种问法也都能转化这里其中的一问。
高中：过正三棱锥底边上的点作球截面求最小面积，啥时截面最小？
D是△ABC斜边AB上动点，沿CD翻折两面成直角求AB＇最小值？动点转化
详细讲解三角形中边的取值范围的题
立体几何中一端是定点一端是动点的直线与面平行的解题思路
￥高考状元提分笔记文科全套数学语文英语*治地理历史高考复习资料学霸笔记高中教辅*史地高三必备必刷淘宝￥￥购买