原题
原题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上一点，且BP=λBD1(λ∈(0,1))。若BD1⊥平面PAC，则λ=?
△PAC周长的最小值是多少？
图一这道题主要考察的是正方体中的知识点，该正方体中一般的性质都掌握的话，该题就是一道送分题。
下面就讲解题的过程中，说说正方体的中我们都需要掌握哪些知识点。
第一问
第一问求是λ的值，给出的条件就是当动点P在体对角线上运动到某一点时，该动点和A与C所组成的面和体对角线恰好垂直。
图二这里包含的知识点：正方体的对角线BD1是与面AB1C垂直的，在这里就不证明，也比较好证明。
所以当动点P在BD1上移动，使得BD1⊥面PAC时，此时P点恰好在面AB1C上.
还有一个知识点：体对角线BD1上的点，到与该体对角线垂直的面上的三个顶点的距离是相等的，即PA=PB1=PC。
根据该知识点，当点P在面AB1C上是，满足PA=PB1=PC，所以P点是面AB1C的中点，即外心。
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB1=B1C=AC（都是面对角线），所以三角形AB1C是正三角形，所以P点也是重心，也是垂心。
根据ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB=BB1=BC，所以三棱锥B-AB1C是正三棱锥，BP就是正三棱锥B-AB1C上的高。
根据等体积法，则有V(B-AB1C)=1/3×S△AB1C×BP=1/3×S△ABB1×BC，则有1/3×1/2×2√2×2√2×sinπ/3×BP=1/3×1/2×2×2×2，BP=2/√3.
根据正方体的体对角线的长度是该正方体边长的√3倍，所以BD1=√3AB=2√3.
因为BP=λBD1(λ∈(0,1))，所以λ=BP/BD1=2/√3/2√3=1/3.
第二问
第二问是求动面APC的周长的最小值。
因为△PAC的周长=AC+PA+PC，且AC是定长，即该正方体的上底面的对角线，AC=2√2，所以只需要求出PA+PC的最小长度即可。
正方体知识点：因为P点在正方体的对角线上，所以PA=PC。
所以要想求出△PAC的周长的最小值，只需要求出PA的最小值即可。
那PA什么时候长度最小呢？
当PA与体对角线垂直的时候，PA是最短的，即垂线段对短。
那PA到底在一个什么样的三角形中呢？
连接AD1，则PA在三角形ABD1中。
图三那三角形ABD1到底是一个什么样的三角形呢？
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥侧面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以三角形ABD1是一个直角三角形。
因为AD1是侧面AA1D1D的对角线，即为2√2，而AB是上底面的边长，即该正方体的边长，为2，所以该三角形ABD1是一个直角边分别为2和2√2的直角三角形。
根据这些画出该三角形ABD1：
图四这样我们就将比较抽象的立体结构转化成了具体的平面结构，瞬间清晰可见。
因为BD1是体对角线，且正方体的边长为2，所以BD1=2√3。
根据等面积法，1/2×2×2√2=1/2×2√3×PA，所以PA=2√6/3.
综上所述，△PAC的周长AC+PA+PC=2√2+2√6/3×2=4√6/3+2√2.
总结
对于正方体的中存在的知识点，是需要我们熟练掌握的，因为一般的立体几何的结构模型都可以建立的正方体中借助正方的知识点进行求解。
正方体的知识点：
第一，体对角是正方体的边长的√3倍；
第二，体对角线BD1⊥面AB1C和面A1DC1；
第三，体对角线BD1上的点P到A，B1，C的距离相等；到A1，D，C1的距离相等；
第四，AB与侧面AA1D1D和侧面BB1C1C垂直。
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