备战年高考名师预测模拟卷（1）
一．填空题（共12小题）
1．若集合A＝{x
≤0}，B＝{x
﹣1＜x＜2}，则A∩B＝ （﹣1，1） ．
求解分式不等式化简A，再由交集运算得答案．
解：∵A＝{x
≤0}＝{x
﹣2≤x＜1}，B＝{x
﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x
﹣2≤x＜1}∩{x
﹣1＜x＜2}＝（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
2．若复数z满足（3﹣4i）z＝
4+3i
，则z的虚部为
．
首先求出
4+3i
，代入后直接利用复数的除法运算求解．
解：∵
4+3i
＝．
由（3﹣4i）z＝
4+3i
，得（3﹣4i）z＝5，
即z＝．
∴z的虚部为．
故答案为：．
3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）
根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．
解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，
在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95＝种；
其中只有男生C55＝1种情况；
则男、女生都有的选取方式的种数为﹣1＝种；
故答案为：．
4．若，则cos2α+cosα＝
．
根据三角函数的诱导公式求出cosα的值，结合二倍角公式进行转化求解即可．
解：∵，
∴cosα＝，
则cos2α+cosα＝2cos2α﹣1+cosα＝2×﹣1+＝﹣，
故答案为：﹣．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为
．
利用抛物线方程求出p，即可得到结果．
解：抛物线y＝4x2的焦点到其准线的距离为：p＝．
故答案为：．
6．在正项等比数列{an}中，a1a3＝1，a2+a3＝，则（a1+a2+…+an）＝
．
利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出．
解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1a3＝1，a2+a3＝，
∴＝1，＝．
解得a1＝3，q＝．
则（a1+a2+…+an）＝＝＝．
故答案为：．
7．如果函数是奇函数，则f（x）＝ 2x+3 ．
首先在（﹣∞，0）内设出自变量，根据（0，+∞）里的表达式，得出f（﹣x）＝﹣2x﹣3＝﹣f（x），最后根据函数为奇函数，得出f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x+3即可．
解：设x＜0，得﹣x＞0
根据当x＞0时的表达式，可得
f（﹣x）＝﹣2x﹣3
∵f（x）是奇函数
∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x+3
故答案为：2x+3
8．（2+x）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则（2+x）n的展开式中倒数第4项的系数为 ．
由已知求得n，求出展开式的第5项得答案．
解：由，得n＝7．
∴（2+x）n＝（2+x）7，
（2+x）7的展开式中倒数第4项为．
∴展开式中倒数第4项的系数为．
故答案为：．
9．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为
．
根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．
解：由题意得，f（x）＝
＝cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）＝﹣cosx+2＝，
解得cosx＝，则，
所以实数x的取值集合是，
故答案为：．
10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为 64π ．
当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．
解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC＝VC﹣AOB＝＝＝，
故R＝4，则球O的表面积为4πR2＝64π，
故答案为：64π．
11．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是 2＜r＜4 ．
先确定M的轨迹是直线x＝3，代入抛物线方程可得y＝±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12＝4x1，y22＝4x2，
相减得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0＝2，
因为直线与圆相切，所以＝﹣，所以x0＝3，
即M的轨迹是直线x＝3．
将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，
∴﹣2＜y0＜2，
∵M在圆上，
∴（x0﹣5）2+y02＝r2，
∴r2＝y02+4≤12+4＝16，
∵直线l恰有4条，
∴y0≠0，
∴4＜r2＜16，
故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故答案为：2＜r＜4．
12．直角坐标平面上，有个非零向量、、、…、，且⊥（k＝1，2，…，），各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若
+
+
+…+
＝l（常数），则
+++…+
的最小值为 l ．
由⊥可得、、、…、共线，、、、…、共线，从而可得
+++…+
≥2（），开方即可得解．
解：因为⊥（k＝1，2，…，），
所以、、、…、共线，、、、…、共线，
又各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，
所以
+++…+
＝
+++…+
+
+++…+
≥2（）＝，
即
+++…+
≥l，
所以
+++…+
的最小值为l．
故答案为：l．
二．选择题（共4小题）
13．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（
）
A．﹣＞0B．sinx﹣siny＞0
C．（）x﹣（）y＜0D．lnx+lny＞0
x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．
解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．
故选：C．
14．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数f（x）在（﹣2，2）上仅有一个零点，则f（﹣2）f（2）的符号是（
）
A．小于零B．大于零
C．小于或大于零D．不能确定
由题意举例f（x）＝x，f（x）＝x2，f（x）＝sin（x），从而解得．
解：当f（x）＝x时，f（﹣2）f（2）＜0，
当f（x）＝x2时，f（﹣2）f（2）＞0，
当f（x）＝sin（x）时，f（﹣2）f（2）＝0，
故选：D．
15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC＝（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）＝0，则△ABC的形状是（
）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB＝AC，即b＝c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2＝2c2＝b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．
解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：
四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；
∵；
∴；
∴AF⊥BC；
又DE⊥AF；
∴DE∥BC，且AD＝AE；
∴AB＝AC，即b＝c；
∴延长AF交BC的中点于O，则：，b＝c；
∴；
∴；
∴4c2﹣a2＝a2；
∴a2＝2c2＝b2+c2；
∴∠BAC＝90°，且b＝c；
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
故选：D．
16．已知数列{an}满足：a1＝m（m＞0），an+1＝，则下列结论中错误的个数为（
）
①若a3＝4，则m可以取3个不同的值；
②若m＝，则数列{an}是周期为3的数列；
③存在m＞1，使得数列{an}是以正整数T为周期的数列，且T∈N*，T≥2；
④存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．
A．1B．2C．3D．4
若a3＝4，结合an+1＝，分别对a2，a1讨论求得m值判断①；若m＝，求得an+3＝an判断②；由②可知③正确；利用反证法说明④错误．
解：对于①，∵an+1＝，
∴或，
∵a3＝4，∴a2＝5或，
又∵或，a1＝m，m＝6或m＝或m＝，故①正确；
对于②，m＝＞1，∴a2＝﹣1＜1，a3＝＝+1＞1，，
∴数列{an}是周期为3的数列，故②正确；
对于③，由②可知当m＝＞1时，数列{an}是周期为3的周期数列，故③正确；
对于④，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列，
当m＝2时，a2＝a1﹣1＝1，（n≥2），数列表示周期数列；
当m＞2时，若0＜m﹣k≤1，则ak+1＝a1﹣k＝m﹣k，
＞1，若ak+2＝ai，1≤i≤k+1，
则，可化为m2﹣（k+i﹣1）m+ki﹣k﹣1＝0．
则Δ＝（k+i﹣1）2﹣4（ki﹣k﹣1）不为平方数，因此假设不正确，故④错误．
∴结论中错误的个数为1个．
故选：A．
三．解答题（共5小题）
17．如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，D，E，F分别是A1B1，CC1，BC的中点．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）求AE与平面DEF所成角的大小及点A到平面DEF的距离．
（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．求出相关的坐标，利用向量的数量积为0，证明，推出AE⊥DF．
（2）求出平面DEF的一个法向量，设AE与平面DEF所成角为θ，利用向量的数量积求解AE与平面DEF所成角，然后求解点A到平面DEF的距离．
解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、AC为y轴、AA1为z轴建立如图的空间直角坐标系．
由题意可知A（0，0，0），D（0，1，2），E（﹣2，0，1），F（﹣1，1，0），
故，…（4分）
由，
可知，即AE⊥DF．…（6分）
（2）设是平面DEF的一个法向量，
又，
故由解得故．…（9分）
设AE与平面DEF所成角为θ，则，…（12分）
所以AE与平面DEF所成角为，
点A到平面DEF的距离为．…（14分）
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足：．
（1）求角C的大小；
（2）若且a＝2，求△ABC的面积．
（1）利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求解即可．
（2）根据条件求出A的大小，结合正弦定理求出c的值，结合三角形的面积公式进行计算即可．
解：（1）．
∴由正弦定理a2+b2﹣c2＝2absinC
即cosC＝＝＝sinC，
即tanC＝＝＝，
则C＝，
（2）∵，
∴asinB＝bcosA，
即sinAsinB＝sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴sinA＝cosA，即tanA＝1，
则A＝，B＝π﹣﹣，
∵a＝2，
∴＝得＝，得c＝，
则三角形的面积S＝acsinB＝×2×sin（+）＝（+）＝．
19．已知函数f（x）＝，k≠0，k∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．
（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（﹣x）的表达式，讨论k的范围，分析f（﹣x）与f（x）的关系，即可得结论；
（2）设t＝2x，分析可得t的范围，则y＝+﹣1，对k的范围进行分情况讨论，讨论函数y＝+﹣1的单调性，求出k的范围，综合即可得答案．
解：（1）根据题意，函数f（x）＝，其定义域为R，
f（﹣x）＝+﹣1＝+2x﹣1，
当k＝1时，有f（x）＝f（﹣x），函数f（x）为偶函数，
当k≠1时，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；
（2）设t＝2x，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，则y＝+﹣1，
当k＜0时，函数f（x）在R上递减，符合题意；
当k＞0时，t∈（0，）上时，函数y＝+﹣1递减，
t∈（，+∞）上时，函数y＝+﹣1递增，
若已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，必有≥1，
解可得k≥1，
综合可得：t的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
20．已知抛物线y2＝4x的焦点为椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆长轴长为4，M、N是椭圆上的两点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）若直线MN经过点（1，0），且＝，求直线MN的方程；
（3）若动点P满足：＝+2，直线OM与ON的斜率之积为﹣，是否存在两个定点F1，F2，使得
PF1
+
PF2
为定值？若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）根据抛物线y2＝4x的焦点为椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，求出a，b，即可得出椭圆的标准方程．
（2）设直线MN的方程x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），将数量积坐标化，得到关于m的方程．
（3）将＝+2坐标化，利用哦直线OM与ON的斜率之积为﹣，可计算x2+2y2＝20，从而可知存在两个定点F1（﹣，0），F2（，0），使得
PF1
+
PF2
为定值．
解：（1）因为抛物线y2＝4x的焦点为（，0），
所以椭圆中的c＝，
又椭圆的长轴为4，解得a＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝2，
所以椭圆的标准方程为+＝1．
（2）设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
将直线方程代入椭圆的方程，得（2+m2）y2+2my﹣3＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
所以x1x2＝（my1+1）（my2+1）＝m2y1y2+m（y1+y2）+1，
因为＝﹣，
所以x1x2+y1y2＝﹣，
所以（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1＝﹣，
所以（m2+1）（﹣）+m（﹣）+1＝﹣，
解得m＝±1，
所以直线方程为x＝±y+1．
（3）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
由＝+2，可得（x，y）＝（x1+2x2，y1+2y2），
所以x＝x1+2x2，y＝y1+2y2，
因为M，N是椭圆上的点，
所以﹣＝1，﹣＝1，
所以x2+2y2＝（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2＝（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）
＝20+4（x1x2+2y1y2），
由直线OM与ON的斜率之积为﹣，可得＝﹣，
即x1x2+2y1y2＝0，
所以x2+2y2＝20，即+＝1，
由椭圆的定义可知存在两个定点F1（﹣，0），F2（，0），使得动点P到两顶点距离和为定值4．
21．数列{an}的各项均为正数，a1＝t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k＝6pn
（1）当k＝1，p＝5时，若数列{an}是成等比数列，求t的值；
（2）当t＝1，k＝1时，设Tn＝a1+++…++，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列{an}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．
（1）由，，得到等比数列（an}的公比q＝5，由此能求出t的值．
（2）+…++，+…+，由此能够证明＝a1﹣6＝﹣5．
（3），，数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
解：（1），
，…（2分）
设等比数列（an}的公比是q，
则5，
∴q＝5，…（4分）
n＝1时，t+5t＝30，∴t＝5．…（5分）
（2）证明：∵n是任意的正整数，当n＝1时，＝6P1＝6，
依此类推，当n取n﹣1项时，＝＝6，
∴+…++，
Tn＝+…++
＝++…+，…（7分）
∴（1+）Tn＝2a1+++…++＝，…（9分）
∴＝a1﹣6＝﹣5．…（10分）
（3），
，…（11分）
数列{an}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（pn﹣1+pn+…+pn+k﹣1）＝6pn，…（15分）
项数为n+k﹣1﹣（n﹣1）十1＝k+1项，
当p＝1时，t（k+1）＝6，∴t＝，…（16分）
当p≠1，且p＞0时，t＝6pn，
∴t＝．…（17分）
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