三棱

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TUhjnbcbe - 2023/2/20 16:06:00
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年广东省汕头市高一(下)期末数学试卷

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.(5分)已知集合A={x∈Z

﹣5≤x≤1},集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},则集合A∩B=(
  )

A.{﹣5,﹣4,0,1}  B.{﹣2,﹣1,0,1,2}  

C.{﹣2,﹣1,0,1}  D.{﹣2,﹣1,0}

2.(5分)已知复数z,则“z=3+4i”是“

z

=5”的(
  )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.(5分)如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则(
  )

A.  B.  C.  D.

4.(5分)下列函数中,既是奇函数又在区间(﹣1,1)上是增函数的是(
  )

A.y  B.y=tanx  C.y=﹣sinx  D.y=cosx

5.(5分)已知m、n是不重合的直线,α、β是不重合的平面,则下列命题正确的是(
  )

A.若mα,n∥α,则m∥n  B.若m∥α,m∥β,则α∥β  

C.若α∩β=n,m∥n,则m∥β  D.若m⊥α,m⊥β,则α∥β

6.(5分)中国书法历史悠久、源远流长.书法作为一种艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观.谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术.我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体,如图:以“国”字为例,现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习,则他恰好不选草书体的概率为(
  )

A.  B.  C.  D.

7.(5分)某学校为了了解新高考背景下学生的选科情况,从本校选择“物理、化学、生物”、“物理、化学、地理、物理、生物、*治”三种组合共名学生中,采用分层抽样的方法选取20名学生作为样本.已知选“物理、化学、生物”组合的学生有人.且选“物理、生物、*治”组合的人数是选“物理、化学、地理”组合的,那么样本中选“物理、化学、生物”组合的学生比选“物理、生物、*治”组合的学生多(
  )

A.4人  B.5人  C.6人  D.7人

8.(5分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(
  )

A.8π  B.12π  C.20π  D.24π

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.(5分)已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,则下列说法正确的是(
  )

A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,,则  

B.若甲、乙两组数据的方差分别为,,则  

C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差  

D.甲成绩比乙成绩稳定

10.(5分)若将函数f(x)=cos(2x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(
  )

A.g(x)的最小正周期为π  

B.g(x)在区间[0,]上单调递减  

C.x不是函数g(x)图象的对称轴  

D.g(x)在[,]上的最小值为

11.(5分)已知a,b均为正实数,且a+b=1,则(
  )

A.a2+b2的最小值为  B.ab的最小值为2  

C.的最大值为  D.的最大值为4

12.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动时,下列命题正确的是(
  )

A.三棱锥A﹣D1PC的体积不变  

B.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变  

C.直线AP与直线A1D所成角的大小不变  

D.二面角P﹣AD1﹣C的大小不变

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分、满分20分.

13.(5分)已知f(x),则f(9)=  .

14.(5分)已知sin(α),则cos(α)=  .

15.(5分)已知向量,的夹角为°,

=2,

=1,若(3)⊥(2λ),则λ=  .

16.(5分)已知(2,3),(﹣1,k).若

,则k=  ;若,的夹角为钝角,则k的范围为  .

四、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数f(x).

(1)判断函数f(x)的奇偶性并写出证明过程;

(2)直接写出f(x)的单调区间(不必写证明过程),并指出在每一单调区间上的单调性.

18.(12分)已知平面向量(sinx,﹣2sinx),(2cosx,sinx)函数f(x).

(1)求函数f(x)的最大值;

(2)求函数f(x)的零点的集合.

19.(12分)在①2asinA=(2sinC﹣sinB)c+(2sinB﹣sinC)b;②2asinCc=0,这两个条件中任选一个,补充在下列问题中并解答.

已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且______.

(1)求A;

(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.

20.(12分)年,面对突如其来的新冠肺炎疫情,在*中央领导下,各地区各部门统筹疫情防控和分配医疗救护资源,医院妥善收治发热病人.医院医院防疫举措的满意度情况,从当日收治的名病人中,随机访问了名病人,医院满意度的评分,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值及该样本的第50百分位数;

(2)规定:医院满意度的评分高于80分为“满意”,医院当日名病人中“满意”的人数.

21.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC.

(1)求证:BC⊥面PAC;

(2)若AC=BC=PA=2,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.

22.(12分)定义函数y=h(x)﹣mx的零点x0为h(x)关于参数m的平衡点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1(a≠0).

(1)当a=1,b=﹣3时,求f(x)关于参数﹣5的平衡点;

(2)若b∈R,函数f(x)恒有关于参数1的两个平衡点,求a的取值范围.

试题解析

1.解:∵集合A={x∈Z

﹣5≤x≤1}={﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1},

集合B={﹣2,﹣1,0,1,2},

∴集合A∩B={﹣2,﹣1,0,1}.

故选:C.

2.解:①若z=3+4i,则

z

5,∴充分性成立,

②若z=﹣3+4i,则

z

5,∴必要性不成立,

∴z=3+4i是

z

=5的充分不必要条件,

故选:A.

3.解:在△BCD中,.

故选:C.

4.解:因为区间(﹣1,1)关于原点对称,且f(﹣x)=tan(﹣x)=﹣tanx=﹣f(x),所以y=f(x)=tanx是(﹣1,1)上的奇函数,

又y=tanx在(﹣1,1)上是递增函数,

故选:B.

5.解:若mα,n∥α,则m与n可能平行也可能异面,故A为假命题;

若m∥α,m∥β,则α与β也可能相交,故B为假命题;

若α∩β=n,m∥n则m可能在平面β上,故C为假命题;

在D中,此命题正确.因为垂直于同一直线的两个平面互相平行;

故选:D.

6.解:从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有10种,

则他恰好不选草书体的共有6种,

故他恰好不选草书体的概率为P.

故选:A.

7.解:设选“物理、化学、地理”组合的人数为x,

则选“物理、生物、*治”组合的人数是x,

根据题意得x,

解得:x=,∴x=90,

选择“物理、化学、生物”、“物理、化学、地理”、“物理、生物、*治”

三种组合人数比是::90=8:9:3,

∴采用分层抽样的方法选取20名学生作为样本,三种组合分别抽取人数为:8,9,3,

∴样本中选“物理、化学、生物”组合的学生比选“物理、生物、*治”组合的学生多8﹣3=5(人).

故选:B.

8.解:由题意,PC为球O的直径,PC2,

∴球O的半径为,

∴球O的表面积为4π5=20π,

故选:C.

9.解:由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,

其他次考试成绩都高于乙同学,所以,故选项A正确;

由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,

所以,故选项B错误,选项D正确;

极差为数据样本的最大值与最小值的差,

所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项C错误.

故选:AD.

10.解:∵将函数f(x)=cos(2x)的图象向左平移个单位长度,

得到函数g(x)=cos(2x)=cos(2x)的图象,

故g(x)的最小正周期为π,故A正确;

在区间[0,]上,2x∈[,],函数g(x)没有单调性,故B错误;

当x时,g(x)=0,故x不是函数g(x)图象的对称轴,故C正确;

在[,]上,2x∈[0,],函数g(x)的最小值为g(),故D正确,

故选:ACD.

11.解:因为a,b均为正实数,且a+b=1,

由()2可得,a2+b2,当且故A正确;

由ab,当且仅当a=b时取等号,

所以ab在(0,]上单调递减,当ab时取得最小值,B错误;

()2=a+b+21+22,

故即a=b时取等号,C正确;

24,

当且仅当即a=b时取等号,

即的最小值为4,D错误.

故选:AC.

12.解:对于A,因为BC1∥平面AD,所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等,所以体积不变,故选项A正确;

对于B,点P在直线BC1上运动时,直线AB与平面AC1所成的角和直线AC1与平面AC1所成的角不相等,故选项B错误;

对于C,因为A1D⊥平面ABC1D1,所以点P在直线BC1上运动时,直线AP与直线A1D所成的角的大小不变,故选项C正确;

对于D,当点P在直线BC1上运动时,AP的轨迹是平面PAD1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响,故选项D正确.

故选:ACD.

13.解:根据题意,f(x),

则f(9)=f(5)=f(1)=log31﹣1=0﹣1=﹣1;

故答案为:﹣1.

14.解:sin(α),

则cos(α)=sin((α))=sin(α),

故答案为:.

15.解:∵向量,的夹角为°,

=2,

=1,若(3)⊥(2λ),

则(3)(2λ)=2(λ+6)3λ2×4+(λ+6)×2×1×cos°+3λ=0,

λ=﹣1,

故答案为:﹣1.

16.解:∵已知(2,3),(﹣1,k),若

,则4+9=1+k2,求得k=±2.

若,的夹角为钝角,则0,且与不平行,

即﹣2+3k<0,且,求得k,且k,

故答案为:k=±2,k,且k.

17.解:(1)根据题意,函数f(x),有2x﹣1≠0,解可得x≠0,即函数的定义域为{x

x≠0},

有f(﹣x)f(x),函数f(x)为奇函数;

(2)根据题意,f(x)=1,

其单调递减区间为(﹣∞,0),(0,+∞).

18.解:(1)∵f(x)sinx×2cosx﹣2sinx×sinxsin2x﹣(1﹣cos2x)=2sin(2x)﹣1,

∴f(x)的最大值为2×1﹣1=1.

(2)令f(x)=0,∴sin(2x),

∴2x2kπ,k∈Z,或2x2kπ,k∈Z,

解得x=kπ或xkπ,k∈Z,

∴f(x)的零点的集合为{x

x=kπ或xkπ,k∈Z}.

19.解:(1)选条件①时,2asinA=(2sinC﹣sinB)c+(2sinB﹣sinC)b;

利用正弦定理:2a2=(2c﹣b)c+(2b﹣c)b,

整理得:a2=b2+c2﹣bc,

所以cosA,

由于0<A<π,

所以A.

选条件②时,2asinCc=0,

利用正弦定理:,

由于0<A、C<π,

故,

故锐角A.

(2)a=2,△ABC的面积为,

所以,

整理得:bc=4,

则b2+c2=8,

所以(b﹣c)2=b2+c2﹣2bc=8﹣8=0,

故b=c=2.

20.解:(1)∵(0.+a+0.+0.+0.)×10=1,

∴a=0..

∵前3组频率之和为(0.+0.+0.)×10=0.3<0.5,

前4组频率之和为(0.+0.+0.+0.)×10=0.7>0.5,

∴第50百分位数为:8=85.

(2)由频率分布直方图得样本中“满意”的频率为:

(0.04+0.03)×10=0.7,

∴由样本估计总体,名病人中“满意”的人数大约为:

×0.7=2人.

21.(1)证明:∵PA⊥底面ABC,∴BC⊥PA.

∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.

∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,

(2)解:取PC中点D,连接AD.

∵AC=PA,∴AD⊥PC,

∵由(1)可得平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,

∴AD⊥平面PBC,

连接DM,则∠AMD就是AM与平面PBC所成角.

∵AC=BC=PA=2,则AD,AM,∴DM=1,

∴tan∠AMD,

∴AM与平面PBC所成角的正切值是.

22.解:(1)当a=1,b=﹣3时,f(x)=x2﹣2x﹣4

令f(x)+5x=0,可得x2+3x﹣4=0,解得x=﹣4或x=1,

所以当a=1,b=﹣3时,f(x)关于﹣5的平衡点为1和﹣4.

(2)依题意,可知b∈R,关于x的方程ax2+bx+b﹣1=0都有两个不等实数根,

从而有a≠0且对b∈R都成立,

即关于b的不等式b2﹣4ab+4a>0对b∈R都成立

故有,解得0<a<1,

所以a的取值范围为(0,1).

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