球与内接棱锥的组合体问题是立体几何中一类综合问题，需要较强的空间想象能力，难度较大。用构造的方法来处理是常见的解题策略，其中构造长方体又是最基本、最有效的。
设一个顶点上各棱长分别为的长方体内接于球，也即它的八个顶点在同一球面上．由长方体特殊的几何性质可知，它的八个顶点到体对角线中点的距离都相等，所以体对角线的中点也就是球心，从而长方体的体对角线长等于球的直径．设球的半径为，则．借助这个等量关系，完全可以使长方体与球之间的已知条件和所求问题沟通起来．在遇到球与内接三棱锥的组合体问题时，若将三棱锥补成长方体，便可使问题迎刃而解，既省时由省力．
01
利用垂直构造长方体
因为长方体一个顶点上的三条棱两两互相垂直，所以若一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，可将这三条侧棱当成长方体一个顶点上的三条棱补成长方体．
例1已知球面上有四个点，如果两两互相垂直,且，求这个球的表面积和体积．
解析：因为两两互相垂直，所以共顶点的三条棱能补成正方体，且此正方体内接于球，从而正方体的体对角线长即为球的直径．所以
请同学们思考：①若平面、平面、平面两两互相垂直，其它条件不变，求这个球的表面积和体积．（“平面、平面、平面两两互相垂直”等价于“两两互相垂直”）
②三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，且，，，若空间一点到四个顶点的距离相等，则这个距离的数值是（）．
（满足题意的点就是三棱锥的外接球的球心，答案是）例2、如图1，已知球的面上四点，求球的体积．
解析：虽然本题不存在一个顶点上两两互相垂直的三条棱，但注意到仍可将其补成长方体（如图2），由题意，它内接于球．易求球的半径，．评注：不但具有线面垂直关系的三棱锥可以补成长方体，某些具有线面垂直关系的四棱锥也可以补成长方体．
02利用对棱相等构造长方体因为长方体向对面的对角线长度相等，所以在遇到对棱相等的三棱锥时，以相等的对棱当作长方体相对面的对角线将其补成长方体．例3将例1中“两两互相垂直”改为“两两所成角均为”，其它条件不变，求这个球的表面积和体积．
解析：由题意，得三棱锥是正四面体（如图3），当然有，，，以分别为面对角线构造正方体（如图4）,它必内接于球．设正方体棱长为，则，，体对角线长为，球的半径为，
例4设三棱锥中，，，，求这个球的表面积和体积．解析：以分别为面对角线构造长方体（类似于图4），设长方体一个顶点上的三条棱长分别为，则，三式相加除以2，
得体对角线的平方为50，易求外接球的半径为
长方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何体，采用构造长方体的方式去处理一些球与三棱锥的组合体问题，往往能达到化难为易、化繁为简的效果．当然，我们在领略美妙的解题过程时，还要了解所用技巧的思想根源，以期提高同学们的观点和对问题认识的高度．这里使用构造法的思路源于几何体特殊的线面位置关系和度量关系，以及长方体的中心就是其外接球的球心．另外，这种方法也可以推广到球与其它的内接多面体，如正三棱柱的上、下底面中心连线的中点就是其外接球的球心（文后有一道这方面的练习题）．其次，构造法是数学的一种重要思想方法，同学们可通过加强灵活运用构造法的指导和训练来培养自己的创造能力．
练习题1．已知三棱锥中，底面三角形是边长为的正三角形,PA垂直于底面ABC，且,则此三棱锥的外接球的半径为（）A．B．C．D．2．已知在等腰梯形中，,角DAB=60度，为的中点．将三角形ADE与三角形BEC分别沿、向上折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（）3．如图5，已知三棱锥中，、分别是、的中点，三角形ABC、三角形PEF都是正三角形，PF垂直于AB．（1）证明：PC垂直于平面PAB；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点、、、在一个表面积为12π的球面上，求三角形ABC的边长．答案：1．D2．C3．（2）；（3）．预览时标签不可点收录于话题#个上一篇下一篇提示：点击上方↑"玩中学数学"
7×8＝56
5×5=25
75×75=
这是为什么呢？如何解释呢？
我们试着把算式拆开了看看：
75×75=
因为75=（70+5）
将其中一个75拆分成70+5
75×70+75×5
因为75=（70+5）
再次将两个75拆分成70+5
75×70=（70×70+5×70）
75×5=（70×5+5×5）
于是算式就成了
（70×70+5×70）+（70×5+5×5）
去掉括号后将中间的两个70×5合并
=70×70+（5×70+70×5）+5×5
=（70×70+10×70）+5×5
=70×（70+10）+5×5
=+25
=
我们从乘法竖式来解释可能更符合三年级孩子理解
我的理解：根据口决，由个位数向前推，答案直接写下来。
顺序为：先写25（5×5），再写56[7×（7+1）]
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
我们在运算中要灵活选择有效的简便方法
?
拓展提升
运用“头相同，尾互补”算式的计算口诀再试
34××87
72××43
算完后与闵奕涵同学的比一比
其他同学计算
口算天才
往期精彩：
拼长方形
积最大（1）
积最大（2）
积最大（3）
正三棱锥+正四棱锥变成几面体？
正方体的平面展开图
N边形有多少条对角线？
三年级下册48面第九题（有趣的11）
有趣的11（2）有趣的11（3）有趣的11（4）贺平喜欢作者
1、下列图形中不是正方体的平面展开图的是（）
A、B、C、D、正确答案C
解析解：A、是正方体的展开图，不合题意；B、是正方体的展开图，不合题意；
C、不能围成正方体，故此选项正确；
D、是正方体的展开图，不合题意．
故选：C．
2、一个几何体的边面全部展开后铺在平面上，不可能是（）
A、一个三角形B、一个圆C、三个正方形D、一个小圆和半个大圆正确答案B
解析解：正四面体展开是个3角形；顶角为90度，底角为45度的两个正三棱锥对起来的那个6面体展开可以是3个正方形；
一个圆锥展开可以是一个小圆+半个大圆．
故选B．
3、将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（）
A、B、C、D、正确答案B
解析解：观察图形可知，将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的选项B．
故选：B．
4、下列几何体：①球；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤正方体，用一个平面去截上面的几何体，其中能截出圆的几何体有（）
A、4个B、3个C、2个D、1个正确答案B
解析解：长方体、正方体不可能截出圆，
球、圆柱、圆锥都可截出圆，
故选：B．
5、下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）
A、B、C、D、正确答案A
解析解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．
6、下面现象能说明“面动成体”的是（）
A、旋转一扇门，门运动的痕迹B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线C、天空划过一道流星D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹正确答案A
解析解：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确；
B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误；
C、天空划过一道流星说明“点动成线”，故本选项错误；
D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误．
故选A．
7、如图，将正方体沿面AB′C剪下，则截下的几何体为（）
A、三棱锥B、三棱柱C、四棱锥D、四棱柱正确答案A
解析解：∵截下的几何体的底面为三角形，且AB、CB、B′B交于一点B，∴该几何体为三棱锥．
故选A．
8、下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（）
A、①②③④B、①②③C、②③④D、①③④正确答案B
解析解：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段是正确的；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形是正确的；
③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱是正确的；
④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个圆柱，原来的说法错误．
故选：B．
二、填空题（共6题，每小空4分，共40分）9、（4分）薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这说明了．
正确答案面动成体
解析解：从运动的观点可知，薄薄的硬币在桌面上转动时，看上去象球，这种现象说明面动成体．
10、（4分）将如图所示的平面展开图折叠成正方体，则a相对面的数字是．
正确答案-1
解析解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上a相对面的数字是﹣1．
11、（12分）六棱柱有个顶点，个面，条棱．
正确答案12；8；18
解析解：六棱柱上下两个底面是6边形，侧面是6个长方形．所以共有12个顶点；8个面；18条棱．故答案为．
12、（4分）一个棱柱的棱数是18，则这个棱柱的面数是．
正确答案8
解析解：一个棱柱的棱数是18，这是一个六棱柱，它有6+2=8个面．
13、（12分）将如图几何体分类，柱体有，锥体有，球体有（填序号）．
正确答案（1）、（2）、（3）；（5）、（6）；（4）
解析解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）、（2）、（3）；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有（5）、（6）；球属于单独的一类：球体（4）．
14、（4分）如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为cm2．
正确答案24
解析解：过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为2×2×6=24cm2．
三、解答题（共4题，共36分）15、（8分）如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
正确答案见解析
解析解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．
16、（8分）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值．
正确答案见解析
解析解：根据题意得，x﹣3=3x﹣2，
解得：x=﹣。
17、（10分）如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）
正确答案见解析
解析解：如图所示：
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积=×1×2×5=5．
18、（10分）将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现有一个长是5cm、宽是6cm的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱几何体，它们的体积分别是多大？
正确答案它们的体积分别是π（cm3）和π（cm3）
解析解：①绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×52×6=π（cm3）；
②绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×62×5=π（cm3）．
声明：本你知道geometry是什么意思吗？据史料记载，古埃及时代，尼罗河水定期泛滥，淤积的泥土经常冲毁两岸土地的界限，水退后土地的界限显得模糊不清。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识。几何就起源于测量土地的技术，几何学的英文单词geometry就是由geo（土地）和metry（测量）组成的。
人类从开始制作和使用工具起，就开始研究工具的造型、体积、外表装饰等，这也对几何学的产生起了促进作用。从现存的旧石器时代的一些工具，可以看出当时的人们已能磨制出具有较复杂的几何造型的器皿，在新石器时代制作的陶器上，已出现圆，三角形，正方形等基本图形，以及复杂的对称几何图案，等分圆周花纹等。
随着时间的推移，人们在大量的实践中不断扩大和加深对形的认识，获得了许多关于形的知识和研究形的方法。约公元前年，古希腊数学家欧几里得广泛收集和研究前人的成果，将已有的关于形和数的知识作了系统编排，写成了《几何原本》一书，这是几何发展史上的一个里程碑。
Ⅰ几何图形的定义几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．
几何学中，点指有位置而没有长、宽、厚的图形；面是称线移动所生成的图形,有长有宽而没有厚；线是指有长度而无宽度和厚度的图形；体就是有点有线有面，有长宽厚的总体
线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．在连接两点的所有线中，线段最短。简称为两点之间线段最短。
射线：
从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．
直线：
沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸．
两条直线相交：
两条直线相交，只有一个交点．
两条直线平行：
两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．
角：
角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．
0到°的角分为锐角、直角和钝角三种．
锐角、直角、钝角都属于劣角。
等于°的角叫平角
大于°小于°叫优角
等于°叫周角
三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．
直角三角形：
直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．
等腰三角形：
等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．
等腰直角三角形：
等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．
等边三角形：
等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．
四边形：四边形有四条边，内部有四个角．
长方形：
长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．
正方形：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角．
平行四边形：
平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．
等腰梯形：
等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．
菱形：
菱形的四条边都相等，对角分别相等．
圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．
直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．
扇形：
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
长方体：长方体是底面为长方形的直四棱柱。长方体是由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．
正方体：
用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体。正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．正方体是特殊的长方体
圆柱：
圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。它有2个大小相同、相互平行的圆形底面和1个曲面侧面。其侧面展开是矩形。
圆锥：
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱柱：
棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指两个平行的平面被三个或以上的平面所垂直截得的封闭几何体。这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．
棱锥：
在几何学上，棱锥又称角锥，是三维多面体的一种，由多边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成。多边形称为棱锥的底面。随着底面形状不同，棱锥的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱锥称为方锥，底面为三角形的棱锥称为三棱锥，底面为五边形的棱锥称为五棱锥等等。
这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．
三棱锥：
因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．
球体，简称球：
一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体。球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．
Ⅱ常规模型梳理等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的是三角形面积变换。
三角形面积=底×高÷2
决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。
等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同（如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则面积相同）
同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的比（如图2）；
同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比（如图3）
一半模型
阴影图形占整个图形面积的一半。
一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个顶点连线，所构成的三角形占平行四边形的一半。当然在梯形中也常见一半模型。
最下面的三个图，边上的点都为中点。
鸟头模型（共角模型）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角模型常见图形，如下图
如上图中有
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
蝴蝶模型
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积与四边形内的三角形面积之间建立了相关的联系，得到与面积对应的对角线的比例关系。
任意四边形中的蝴蝶模型。
①S1：S2=S4：S3或则S1×S3=S2×S4
②AO：OC=S1：S4=S2：S3=(S1+S2)：(S4+S3)
可以简记为左边：右边=左和：右和
梯形中蝴蝶模型
①S2=S4
②S1×S3=S2×S4
③S1：S2：S3：S4=
④梯形S的对应份数为
可以简记为：上下平方，左右ab
燕尾模型
从三角形一个顶点向对边上任意一点的画线段，在线段上任取一点组成的图形面积也会有如下关系：
金字塔、沙漏模型
所谓的金字塔、沙漏模型，就是指形状相同，大小不同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型，如图所示：
如果DE平行BC，那么
这样的两个三角形的面积比等于它们边长比的平方。
勾股定理
我国最早发现在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，把这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，外国称为毕达哥拉斯定理。如右图
在直角三角形ABC中有
自从发现勾股定理以后，世界上许多数学家和数学爱好者已经发现了多种不同的证明方法，下面就说说两种最简洁、最有趣的证明。
在证明勾股定理“”时，最关键的是怎样理解公式中
“”的几何意义，聪明的古人想到的是把它们理解成边长为的正方形的面积！把抽象的东西形象化。勾股定理就变成了“以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积”
1.赵爽的“弦图”
对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形（边长都为a+b）中减去4块一样的直角三角形后，剩下的面积是相等的，所以。赵爽的证明用到了人所共知的数学规律：等量减等量相等。
2.刘徽的“出入相补”原理
在刘徽的证明中用到了两个平面图形如果“出入相补”，则其面积相等，这就是“出入相补”原理。
利用“出入相补”原理，将一个图形进行割补，重新组成一个新图形，从而得到数学公式或命题的证明----这是一种很重要的数学方法，它是中国古代数学方法的特色之一。
几何常用方法1.割补法；
2.差不变原理
3.几何变换：平移；旋转；对称
4.特殊点法
①段的端点和中点
②三角形、四边形的顶点、中心以及各边中点
Ⅲ基本公式圆的面积＝；扇形的面积＝；
圆的周长=。
基本模型
圆套圆、方套方模型：
如下图1，设小圆半径为r，大圆半径为R，则小圆面积为，因为正方形的面积为，也为2，所以大圆半径与小圆半径满足，即大圆面积。有大圆面积与正方形与小圆面积之比为
如图2，大正方形的面积为,所以小正方形与圆与大正方形面积比为
立体图形公式
收集整理：祁亮
编辑：张弛
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